Oscilondas4

Himar Alonso D´ıaz

F´
ormulas de oscilaciones y ondas
1.
1.1.

Oscilaciones
Movimiento Arm´
onico Simple
Ecuaci´on fundamental:

1.1.1.

k
d2 x
+ x=0
2
dt
m

donde ω =

k
m

Cinem´
atica
Posici´on:

x(t) = A sen (ωt + α)
dx
Velocidad:
v(t) =
= Aω cos (ωt + α)
dt
dv
Aceleraci´on:
a(t) =
= −Aω 2 sen (ωt + α) = −ω 2 x(t)
dt
1.1.2.

Energ´ıa del M.A.S.
1
1
1
Ec = mv 2 = (· · · ) = kA2 cos2 (ωt + α)= k(A2 − x2 )
2
2
2
1 2 1 2
Ep = kx = kA sen2 (ωt + α)
2
2
1
E = Ec + Ep = kA2
2

1.2.
1.2.1.

Estudio del M.A.S. en algunos sistemas f´ısicos
Masa sujeta a un muelle (vertical)

Sup´ongase una masa sujeta a un muelle vertical. La posici´on de equilibrio es y0 , y
definiremos y ′ = y − y0 . Entonces:
d2 y ′
k
k
+ y ′ + y0 = g
2
dt
m
m
Adem´as, por la segunda Ley de Newton, sabemos que y0 =

mg
,k

de manera que:

d2 y ′
k
+ y′ = 0
2
dt
m
La soluci´on de esta ecuaci´on diferencial queda:
y(t) = y0 + A sen (ωt + α)
1

donde ω =

k
m

1.2.2.

P´
endulo simple

Ecuaci´on diferencial:

g
d2 θ
+ θ=0
2
dt
L

Soluci´on:
θ(t) = Θ sen (ωt + α)
1.2.3.

g
L

donde ω =

P´
endulo f´ısico

Ecuaci´on diferencial:

d2 θ mgd
+
θ=0
dt2
Io

Soluci´on:
θ(t) = Θ sen (ωt + α)
1.2.4.

donde ω =

mgd
IoCircuito LC

Ecuaci´on diferencial:

1
d2 Q
+
Q=0
dt2
LC

Soluci´on:
Q(t) = Q0 sen (ωt + α)

1.3.

donde ω = √

1
LC

Movimiento oscilatorio amortiguado

Ecuaci´on fundamental:

d2 x
γ dx
k
+
+ x=0
2
dt
m dt
m

donde ω =

k
m

y β=

γ
2m

La soluci´on de esta ecuaci´on diferencial depende de la relaci´on entre β y ω0 . En los
siguientes casos, supondremos que las condiciones iniciales que conocemos sonla posici´on
inicial x0 y la velocidad inicial y0 , para el c´alculo de las constantes arbitrarias:
1.3.1.

Amortiguamiento d´
ebil: β < ω0

La soluci´on es del tipo:
x(t) = Ae−βt sen (ωt + α)

donde ω =

ω02 − β 2

Constantes arbitrarias, conociendo x0 y v0 :
A=

v0 + βx0
+ x20
ω

α = arc tg
2

ωx0
v0 + βx0

1.3.2.

Amortiguamiento cr´ıtico: β = ω0

El amortiguamiento cr´ıtico alcanza laposici´on de equilibrio en el menor tiempo posible.
La soluci´on es del tipo:
x(t) = (A0 + A1 t)e−βt
Constantes arbitrarias, conociendo x0 y v0 :
A0 = x0
1.3.3.

A1 = v0 + βx0

Sobreamortiguamiento: β > ω0

La soluci´on es del tipo:
x(t) = A1 e−Ω1 t + A2 e−Ω2 t

donde

Ω1 = β +

Constantes arbitrarias, conociendo x0 y v0 :
Ω2 x0 + v0
A1 =
Ω2 − Ω1

1.4.

β 2 − ω02

A2 =

y

β 2 − ω02

Ω2 = β −

Ω1 x0 + v0Ω1 − Ω2

Movimiento oscilatorio forzado

Ecuaci´on fundamental:

d2 x
γ dx
k
F (t)
+
+ x=
2
dt
m dt
m
m

donde ω =

k
m

y β=

γ
2m

Para que el forzamiento sea de tipo arm´onico, F (t) debe tener la siguiente forma:
F (t) = F0 sen (ωf t)
La soluci´on de esta ecuaci´on diferencial no homog´enea ser´a la suma de una soluci´on
general de la homog´enea m´as una soluci´on particular de la completa:
x(t)= xh (t) + xp (t)
donde xh (t) es la soluci´on correspondiente al tipo de amortiguamiento –d´ebil, cr´ıtico o
sobreamortiguado–, y representa el t´ermino transitorio, y xp (t) es de la forma:
xp (t) = A sen (ωf t − δ)

donde A =

F0 /m
(ω02 − ωf2 )2 + (2βωf )2

y δ = arc tg

2βωf
ω02 − ωf2

y representa el t´ermino estacionario.
1.4.1.

Resonancia en amplitud

Tendremos resonancia en amplitud –laamplitud ser´a m´axima– cuando la frecuencia
de forzamiento cumpla:
ωf,A =

ω02 − 2β 2

En cuyo caso la amplitud toma el siguiente valor:
ω0
F0 /m
que s´olo se cumple cuando β < √
Amax =
2
2
2
2β ω0 − β

es decir, que la resonancia en amplitud s´olo podr´a darse en algunos casos de amortiguamiento d´ebil.
3

1.4.2.

Resonancia en energ´ıa

Tendremos resonancia en energ´ıa –hay m´aximatransferencia de energ´ıa– cuando la
frecuencia de forzamiento cumpla:
ωf,E = ω0
En cuyo caso la velocidad ser´a:
vmax = Aωf |ωf =ω0 =
1.4.3.

F0
2mβ

Potencia y ancho de banda

Expresiones para la potencia:
Pamort

Pext

ωf2
−γF02
=
2m2 (ω02 − ωf2 )2 + (2βωf )2

F02 ωf2 β/m
= 2
(ω0 − ωf2 )2 + (2βωf )2

Pext |ωf =ω0 =

F02
2mβ

Potencia media relativa:

4β 2 ωf2
Pext
= 2
Pext |ωf =ω0
(ω0 − ωf2 )2 +...