parabola

PARABOLA
Dados un punto
y una recta de ecuación
, el conjunto de puntos
que están a igual distancia de y , se llama parábola. El punto es el foco y la recta
es la directriz de la parábola.
Ladefinición establece que
, o sea,
y de esta igualdad
resulta la ecuación de la parábola:
El punto
es un punto de la parábola y se llama vértice.
Como
, si
es un punto de la parábola, entonces el punto
parábola es simétrica con respecto al eje ).

también lo es (la

Sea
un punto dado. Si a cada punt o
se le suma el punto , se obtiene un
punto
, y el conjunto de todos los puntosasí obtenidos es la parábola cuya
ecuación (estándar) es
(E1)
su vértice es el punto

, su foco es el punto

y su directriz es la recta

.

Dados tres números
,
la ecuación (E 2)
,define una parábola. Para
obtener su ecuación estándar se utiliza completación de cuadrados
, y la ecuación (E1) se deduce con

,

,

.

Ecuación de segundo grado
Si se requiere determinar lospunt os donde la parábola corta al eje , o sea, determinar los valores
de para los cuales
, se tiene que resolver la ecuación
para lo cual se utiliza completación de cuadrados, y si
solo si
.Si
la ecuación tiene una solución (raíz) repetida

y el punto (

Si

, la parábola corta al eje

la ecuación tiene dos raíces

puntos (

y(

y

, la ecuación tiene solución si y
esel vértice.
en los

y su vertice es el punto (

Posiciones relativas de una recta y una parábola
Si es una recta y
es una parábola, entonces se cumple una y solo una de las siguientes:
1.
2.3.

no corta a
(o sea, no tienen puntos en común)
y
tienen un solo punto en común (o sea es tangente a la parábola)
y
tienen dos puntos en común

Para determinar cada caso, se procede enforma similar a la descrita para circunferencias.

Posiciones relativas de una parábola y una circunferencia
Si
es una parábola y es una circunferencia, ent onces se cumple una y solo una de las...