paralelismo

PARALELISMO



RECTAS PARALELAS

Se dice que dos rectas L1 y L2 son paralelas si son coplanares y no tienen ningún punto en común. Se denota por L1  L2 o L2  L1. Dos segmentos (semirrectas) son paralelos si pertenecen a rectas paralelas.

TEOREMA: (1er Criterio de paralelismo) Si en un mismo plano, dos rectas son perpendiculares a una tercera entonces ellas son paralelas.Dm: Sean L1, L2 y L3 rectas coplanares tales que L1  L3 y L2  L3. Si L1 y L2 no fueran paralelas entonces tendrían un punto común A, por el cual pasarían dos perpendiculares a L3, lo que contradice que por un punto solamente pasa una perpendicular a una recta. Luego L1  L2 .

NOTA: Si las tres rectas no son coplanares, las perpendiculares a una tercera en lugar de ser paralelas sonsecantes o cruzadas.

Por ejemplo en el espacio se tiene, , sin embargo son secantes, también pero son cruzadas.

EXISTENCIA DE UNA PARALELA

TEOREMA: Por un punto exterior a una recta, pasa por lo menos una paralela a dicha recta.

Dm: Consideremos el plano determinado por una recta L1 y un punto A exterior a L1. Por A tracemos la recta L2  L1 y también por A tracemos larecta L3  L2, luego L3  L1 (s a 3a). Por lo tanto por A pasa por lo menos una recta paralela a L1.


POSTULADO DE EUCLIDES

AXIOMA: Por un punto exterior a una recta solamente pasa una paralela a dicha recta.

Este postulado garantiza la unicidad de la paralela a una recta por un punto exterior a ella, es decir, si por un punto A exterior a una recta L, pasan las rectas L1 y L2, con L1 L y L2  L, entonces L1 y L2 deben coincidir.

TEOREMA: En un plano, si dos rectas son paralelas entonces toda secante a una de ellas también es secante a la otra.

Dm: Ejercicio

TEOREMA: (Criterio de perpendicularidad) En un plano, si dos rectas son paralelas entonces toda perpendicular a una de ellas es perpendicular a la otra.

Dm: Sean L1  L2 y L3  L1, entonces L3 también serásecante a L2. Sea A el punto común entre L3 y L2. Tracemos por A la recta L4  L3 y como L1  L3 entonces L4  L1 (s a 3ª). En suma, por A se tienen L2  L1 y L4  L1 entonces por el postulado de Euclides L2 y L4 deben coincidir y en definitiva L3  L2.

TEOREMA: En un plano, dos rectas respectivamente perpendiculares a dos rectas secantes, son secantes. (Ejercicio)

TRANSITIVIDADTEOREMA: (2o Criterio de paralelismo) Dos rectas paralelas a una tercera son paralelas, es decir, la relación de paralelismo es transitiva.

Dm: Sean L1  L2 y L3  L2. Si L1 y L3 no fueran paralelas, entonces tendrían un punto en común A, y por él estarían pasando dos paralelas a L2 , lo cual contradice el postulado de Euclides, luego L1  L3.

ÁNGULOS FORMADOS POR DOS RECTAS Y UNATRANSVERSAL A ELLAS

TRANSVERSAL: Es una recta secante a dos rectas coplanares, pero en puntos distintos.

Si T es una transversal a L1 y L2 (secante a L1 en A y a L2 en B), entonces se forman cuatro ángulos internos: (1, 2, 3 y 4), y cuatro ángulos externos: (5, 6, 7 y 8), que se clasifican en:


ÁNGULOS ALTERNOS INTERNOS: Son dos ángulos internos de distinto vértice situados endistinto semiplano con respecto a la transversal: 1 y 4 ; 2 y 3.

ÁNGULOS ALTERNOS EXTERNOS: Son dos ángulos externos de distinto vértice situados en distinto semiplano con respecto a la transversal: 5 y 8 ; 6 y 7.
ÁNGULOS CORRESPONDIENTES: Son dos ángulos de distinto vértice, uno interno y otro externo y situados en un mismo semiplano con respecto a la transversal: 5 y 3 ; 1 y 7;6 y 4 ; 2 y 8.

ÁNGULOS COLATERALES INTERNOS: Son dos ángulos internos de distinto vértice y situados en un mismo semiplano con respecto a la transversal: 1 y 3 ; 2 y 4.

ÁNGULOS COLATERALES EXTERNOS: Son dos ángulos externos de distinto vértice y situados en un mismo semiplano con respecto a la transversal: 5 y 7; 6 y 8.

PROPIEDADES DE LOS ÁNGULOS ENTRE DOS PARALELAS Y...