Paralelo pipedo

4.3.2 Probabilidad Total y Regla de Bayes
Regla de la Probabilidad Total.
Sean B1,…,Bn una colección de eventos que forman una partición del espacio muestral S esto es
n

B

i

i= 1

= S y Bi ∩ B j = φ para i ≠ j. Sea A otro evento definido sobre S entonces:
P ( A) =

n

∑

i= 1

P ( Bi ) P ( A / Bi )

n

Notar que A = A ∩ S = A ∩ ( Bi ) . Por la propiedad distributiva,se tiene que A =
i= 1

unión es disjunta. Aplicando el tercer axioma se obtiene P ( A) =

n

∑

i= 1

n

 A∩

Bi , donde la

i= 1

P ( A ∩ Bi ) . Finalmente, se aplica la

regla del producto a cada término de la suma y se obtiene la fórmula de probabilidad total.

Para una partición de S en dos eventos B y B se obtiene:
P( A) = P( B ) P( A / B) + P ( B ) P( A / B )Figura 4.13. Teorema de la Probabilidad Total

Ejemplo 4.17. El 70 % de los pacientes de un hospital son mujeres y el 20% de ellas son fumadoras.
Por otro lado el 40 % de los pacientes hombres son fumadores. Se elige al azar un paciente del
hospital. ¿Cuál es la probabilidad de que sea fumador?
Solución:
Sean los eventos F: Que el paciente sea fumador, H: Que el paciente sea hombre y M: Que elpaciente
sea mujer. Claramente,
P( F ) = P ( M ) P( F / M ) + P ( H ) P( F / H )

Del enunciado del problema se tiene que P( M ) = .7 , P( H ) = .3 , P( F / M ) = .2 y P( F / H ) = .4 ,
sustituyendo estos valores en la fórmula anterior se obtiene que P( F ) = .7 × .2 + .3 × .4 = .26 . En la
Figura 4.14 se muestra el diagrama de árbol correspondiente al problema.

Sexo del
PacienteCondicion
de Fumar

F P( MF ) = .7 × .2 = .14

.2

M

.8

F P( MF ) = .7 × .8 = .56

.7

H

F P( HF ) = .3 × .4 = .12
.3

.4

.6

F P( HF ) = .3 × .6 = .18

Figura 4.14. Diagrama de árbol para Ejemplo 4.17

Ejemplo 4.18. En un hospital el 98% de los bebés nacen vivos. Por otro lado, 40% de todos los partos
son por césarea y de ellos el 96% sobreviven al parto. Se elige alazar una mujer a la que no se va
practicar césarea. ¿Cuál es la probabilidad de que el bebé viva?
Solución:
Sean los eventos V: que el bebe nazca vivo, C: que el parto sea por césarea. Del enunciado del
problema P(V ) = .98 , P( C ) = .40 y P(V / C ) = .96 . Se desea hallar P (V / C ) .

Cesarea

V

Bebé Vive
.96

C
.40

.04

V

P(V / C )

V

C
.60

V

Figura 4.15.Diagrama de árbol para Ejemplo 4.18.

Por la regla de la probabilidad total P (V ) = P (C ) P (V / C ) + P (C ) P (V / C ) , de donde:
.596
= .993 . Un diagrama de árbol para el problema
.98 = (.40)(.96) + .60 P (V / C ) , y P (V / C ) =
.60
aparece en la Figura 4.15.
Ejemplo 4.19. Una empresa tiene 3 plantas: A, B y C. La planta A produce el 50% de la producción
total, B produce el 30% y Cel 20%. El 3% de la producción de A es defectuosa, mientras que el 2% de
B y el 5% de C también lo son. Se elige al azar un artículo producido por la empresa:
a) ¿Cuál es la probabilidad de que el artículo elegido sea defectuoso?
b)
Si el artículo elegido resulta ser defectuoso, ¿Cuál es la probabilidad de que provenga de
la planta C?
Solución:
a) Los eventos A, B y C forman una particióndel espacio muestral S correspondiente a elegir un
articulo de la fábrica. Luego, si D representa artículo defectuoso:
P ( D ) = P ( A) P ( D / A) + P ( B ) P ( D / B ) + P ( C ) P ( D / C )
Sutituyendo los datos del problema se tiene que
P( D ) = P( .5) P( .03) + P( .3) P( .02 ) + P( .2 ) P( .05) = .031
b)

P( C / D ) = P( C ∩ D ) P ( D ) = ( .2 )( .05) .031 = .010 .031 = .3225

Eldiagrama de árbol de la Figura 4.16 representa el problema.
Planta

Defectuoso
D

A

.03

.50

D
B

.02

.30
D
..20

C

.05

Figura 4.16. Diagrama de árbol para el problema 4.19

La Regla de Bayes
Bajo las mismas condiciones de la regla de probabilidad total, se cumple que:
P ( B j / A) =

P( B j ) P( A / B j )
n

∑

i= 1

P( Bi ) P ( A / Bi )

Por definición...