PAU BLOC ÀLGEBRA LINEAL MAT II 2014 2015

IES VICENT ANDRÉS ESTELLÉS
DEPARTAMENT DE MATEMÀTIQUES. Curs 2014-2015
EXERCICIS DE SELECTIVITAT. MATEMÀTIQUES II
ÀLGEBRA LINEAL( normalment preguntes A.1 i B.1)
1. Obteniu raonadament,
raonament utilitzat:

escrivint

tots

els

passos

del

 2 − 2 1


1 1  , (2 punts), i la
a)El valor del determinant de la matriu S =  1
 − 1 3 5


−1
−1
matriu S , sent S la matriu inversa de S (2punts). Indiqueu la
relació entre el fet que el valor del determinant d’una matriu S siga
no nul i el fet que aquesta matriu admeta matriu inversa S − 1 (1
punt).
−1
b)El determinant de la matriu 4( T ) 2 , sabent que T és una matriu
quadrada de 3 files i que 20 és el valor del determinant d’aquesta
matriu T . (3 punts).
 a
a2 − 1
−3   a
a + 1 − 3

  2

2
2
a + 4 =  a − 1
2
4a  . (2
c)Lasolució a de l’equació  a + 1
 −3
4a
1   − 3 a 2 + 4 1 


(

)

1
10
−3
10
1
5

13
20
11
20
−1
5

punts).

−1
Resultats: a) S = 20 ≠ 0 , S

(

inversa. b) 4( T )

)

2 −1

=




= 





1
. c) a = 2 .
25600

− 3

20 
− 1
, com
20 
1 

5 

S ≠ 0 aleshores S té

 (1 − α ) x + 2 y + z = 4

2. Tenim el sistema d’equacions lineals  x + y − 2 z = − 4
, on α és
 x + 4 y − ( α+ 1) z = − 2α

un paràmetre real. Onteniu raonadament, escrivint tots els
passos del raonament utilitzat:
a)Els valors del paràmetre α per als quals el sistema és incompatible.
(3 punts).
b)Els valors del paràmetre α per als quals el sistema és compatible i
determinat. (3 punts).
c)Totes les solucions del sistema quan α = 2 . (4 punts).
5λ
λ
− 4, y = , z = λ .
Resultats: a) α = 4 . b) α ≠ 2 i α ≠4 . c) x =
3
3
 x + 3y + 2z = − 1

3. Donat el sistema d’equacions  2 x + 4 y + 5 z = k − 2 , on k és un
 x + k 2 y + 3 z = 2k

paràmetre real es demana:
a)Discutir, d’una manera raonada, el sistema segons els valors de
k . (4 punts).
b)Obtenir, d’una manera raonada, escrivint tots els passos del
raonament utilitzat, totes les solucions del sistema quan k = − 1 . (3
punts).
c)Resoldre, d’unamanera raonada el sistema quan k = 0 . (3
punts).
Resultats: a)Si k ≠ 1 i k ≠ − 1 sistema compatible determinat, si k = 1 el
sistema és incompatible i si k = − 1 el sistema és compatible
− 7
5
1
1
λ − , y = λ + , z = λ . c) x = 6, y = − 1, z = − 2 .
indeterminat. b) x =
2
2
2
2
 1 − 1 1
 − 2




4. Es donen les matrius A =  0 1 1 , B =  1  i C = ( − 1 1 3) ,
 0 0 1
 − 1



Obteniu raonadament, escrivint tots els passos del raonament
utilitzat:
a)La matriu inversa A − 1 de la matriu A . (3 punts).
b)La matriu X que és solució de l’equació AX = BC . (4 punts).
c)El determinant de la matriu 2M 3 , sent M una matriu quadrada
1
d’ordre 2 el determinant de la qual val . (3 punts).
2
3 
 1 1 − 2
−1 1




1
6  i 2M 3 = .
Resultats: A =  0 1 − 1  , X =  − 2 2
2
00 1 
 1 − 1 − 3




−1

5. Comproveu raonadament, escrivint tots els passos del
raonament utilitzat que:
a)Si el producte de dues matrius quadrades A i B és commutatiu, és
2
a dir, que AB = BA , llavors es dedueix que A 2 B 2 = ( AB ) . (2 punts).
0
1 0


b)Que la matriu A =  0 − 4 10  satisfà la relació A 2 − 3 A + 2 I = O , sent
0 − 3 7


I i O , respectivament, les matriusd’ordre 3x3 unitat i nul·la, (4
punts), i que una matriu A tal que A 2 − 3 A + 2 I = 0 té matriu inversa.
(2 punts).
c)Calculeu raonadament, escrivint tots els passos del
3
raonament utilitzat, els valors de α i β que fan que A = α A + β I ,
sabent que la matriu A verifica la igualtat A 2 − 3 A + 2 I = 0 . (2 punts).
Resultats: α = 7 i β = − 6 .
α x + y + z = 1

6. Es dóna el el sistema d’equacions x + α y + z = 1 , on α és un
 3x + 5 y + z = 1

paràmetre real.
Calculeu raonadament, escrivint tots els passos del raonament
utilitzat:
a)Totes les solucions del sistema quan α = 7 . (4 punts).
b)Els valors de α
per als quals el sistema és compatible
indeterminat. (3 punts).
c)Els valors de α per als quals el sistema és compatible determinat.
(3 punts).
Resultats: a) x = y = β , z = 1 − 8β...