Pau mates

PRUEBAS DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD
L.O.G.S.E. / L.O.C.E.
CURSO 2003- 2004
MATERIA:

CONVOCATORIA:

Matemáticas Aplicadas a las CC SS

- Cada alumno debe elegir sólo una de las pruebas (A o B) y, dentro de ella, sólo debe
responder (como máximo) a cuatro de las cinco preguntas.
- Cada una de las preguntas tiene una puntuación máxima de 2.5
Prueba A
1. Se supone que el tiempo dereacción de un conductor, ante un obstáculo imprevisto, sigue una
distribución normal con desviación típica 0,05 segundos.
a) Si se quiere conseguir que el error de estimación de la media no supere los 0,01 segundos, con un
nivel de confianza del 99 %, ¿qué tamaño mínimo ha de tener la muestra de tiempos de reacción?
b) Se toma una muestra de 100 tiempos de reacción y se obtiene una media muestraligual a 0,03
segundos. Determinar el correspondiente intervalo de confianza cuyo nivel de confianza es igual a
0,96.
Solución

σ

2

0.05 ⎞
⎛
a) zα
< E ⇒ 2.58
< 0.01 ⇒ n > ⎜ 2.58
⎟ = 166.41 ≅ 167
0.01 ⎠
n
n
⎝
2
b) Intervalo de confianza:
n = 100; x = 0, 03; σ = 0, 05; α = 0, 04; α / 2 = 0, 02; z0,02 = 2, 05
0.05

⎡
σ
σ ⎤ ⎡
0.05
0.05 ⎤
, x + zα
, 0.03 + 2.05
⎢ x − zα
⎥= ⎢ 0.03 − 2.05
⎥ = [ 0.019725, 0.040275]
n
n⎥ ⎣
100
100 ⎦
⎢
2
2
⎣
⎦
2. Los responsables de educación de una comunidad trabajan con la hipótesis de que, al menos, el
78% de los padres son favorables a la introducción de la segunda lengua extranjera en el primer
curso de Primaria. Encuestados 1024 padres elegidos al azar, 776 están a favor.
a) ¿Se puede aceptar la hipótesis detrabajo con un nivel de significación del 10%?
b) ¿Se concluiría lo mismo si el nivel de significación fuera igual a 0,01?
Solución
Contraste:
H 0 : p ≥ 0.78 = p0
H1 : p < 0.78
⎧
⎫
p0 (1 − p0 ) ⎫ ⎪
0.78 (1 − 0.78 ) ⎪
⎪
⎪ ⎧
ˆ
ˆ
ˆ
a) Región crítica: ⎨ p < p0 − z1−α
= ⎨ p < 0.78 − 1.28
⎬
⎬ = { p < 0.7634} .
n
1024
⎪
⎪ ⎪
⎪
⎭
⎩
⎭ ⎩
776
ˆ
Como p =
= 0.7578 se rechaza H 0 .
1024⎧
⎫
p0 (1 − p0 ) ⎫ ⎪
0.78 (1 − 0.78 ) ⎪
⎪
⎪ ⎧
ˆ
ˆ
ˆ
b) Región crítica: ⎨ p < p0 − z1−α
⎬ = ⎨ p < 0.78 − 2.33
⎬ = { p < 0.7498} .
n
1024
⎪
⎪ ⎪
⎪
⎭
⎩
⎭ ⎩
776
ˆ
= 0.7578 , no se rechaza H 0 .
Como p =
1024

3. El número de flexiones por minuto que es capaz de hacer una persona que empieza su
entrenamiento en un gimnasio, viene dado por la función:
36 x + 8
f ( x) =x+2
siendo x = “días de entrenamiento” y f ( x) = “número de flexiones”.
a) ¿Es f ( x) una función creciente? ¿Por qué??
b) ¿Cuántos días de entrenamiento son necesarios para hacer 28 flexiones por minuto?
c) ¿Hacia qué valor se aproxima el número de flexiones cuando crece el número de días de
entrenamiento?
Solución
a) Tenemos que estudiar el signo de la derivada de f ( x) .
36 ( x + 2 ) −36 x − 8
64
f '( x) =
=
> 0 . Por tanto, la función es creciente.
2
2
( x + 2)
( x + 2)
b) Tenemos que resolver la ecuación f ( x) = 28
36 x + 8
= 28 ⇒ 36 x + 8 = 28 x + 56 ⇒ 8 x = 48 ⇒ x = 6
x+2
36 x + 8
c) lim
= 36 flexiones
x →∞ x + 2
4. Una hoja de papel debe contener 18 centímetros cuadrados de texto impreso. Si los márgenes
superior e inferior deben tener 2 cm. cada uno ylos márgenes laterales 1cm., ¿cuáles son las
dimensiones de la hoja para que el gasto de papel sea mínimo?
Solución
Si x e y, son, respectivamente, el ancho y el largo de la hoja, se debe verificar que A ( x, y ) = x. y sea

mínimo con la condición de que ( x − 2 )( y − 4 ) = 18 .

⎛ 18
⎞
18
18 y
+ 2⎟ y =
+ 2 y . Como
+ 2 , debe hacerse mínima A( y ) = ⎜
y−4
y−4
⎝ y−4
⎠
18 ( y −4 ) − 18 y
2
A '( y ) =
+ 2 = 0 ⇒ 2 ( y − 4 ) − 72 = 0 ⇒ 2 y 2 − 16 y − 40 = 0 ⇒ y = 10 ,
siendo
2
( y − 4)
A ''(10) > 0 , tenemos que las dimensiones que hacen mínimo el gasto de papel son: x = 5, y = 10 .

Despejando

x=

Otra forma de resolverlo puede ser:
Siendo x el ancho del texto e y el alto del texto, el folio debe tener dimensiones (x+2) de ancho por
(y+4) de alto.
Se...