Pauta Algebra Lineal

´ UNIVERSIDAD DE CONCEPCION
´ FACULTAD DE CIENCIAS F´ ISISCAS Y MATEMATICAS

´ DEPARTAMENTO DE INGENIER´ MATEMATICA IA ´ Algebra I 525147-t2 Examen de Recuperaci´n o

Problema 1 [15 ptos] (1.1) Escriba las ra´ n-´simas de la unidad en forma exponencial. ıces e (1.2) Demuestre que la suma de las ra´ n-´simas de la unidad es 0. ıces e (1.3) Demuestre que el producto de las ra´ n-´simas de launidad es 1 ´ −1. ıces e o Indicaci´n: o • La suma de los primeros n t´rminos de una progresi´n geom´trica {an }n de e o e k=1 raz´n r es o n a1 − r an an = Sn = . 1−r k=1 • La suma de los primeros n naturales es n(n + 1) . 2

Problema 2 [15 ptos] Muestre que el polinomio p(x) = x6 + 2x4 − 27x3 − 54x es divisible por x2 + 2 y determine todas sus ra´ ıces.

Problema 3 [8 ptos] Una matriz A sedice diagonalizable si existe una matriz invertible P y una matriz diagonal D tal que A = P DP −1 .     1 2 −1 −1 −2 −1 1 1 . 1 yP = 1 Sean A =  1 0 4 −4 5 2 4 4 (3.1) Determine P −1 . (3.2) Asuma que A es diagonalizable y en base a esto, encuentre D tal que A = P DP −1 .     −1 −1 (3.3) Sea r := A ·  1 . Probar que r es paralelo a  1 . 4 4

1

Problema 4 [7 ptos] Sean 1 a 1 1A= yB= . b 1 −a 2 ¿ Existir´n a, b ∈ R de tal modo de que el sistema Ax = B, con x ∈ M3×1 (R) sea a incompatible?

Problema 5 [15 ptos] Sean P = (2, 1, 2), Q = (4, 5, 8), R = (−1, −2, 4) y la recta L definida por L := {(x, y, z) ∈ R3 : donde a, b ∈ R. (a) Encontrar la ecuaci´n del plano Π que contiene a P , Q y R. o (b) Encontrar condiciones sobre a y b de tal manera que Π y L se intersecten. (c)Dados los casos particulares a = 2 y b = −5 en la recta L, hallar la distancia entre Π y L. (d) ¿ Existir´n a, b ∈ R de modo que la recta L est´ contenida en Π ? a e z−2 x−1 =y= } a b

2

Soluciones:

Problema 1 (1.1) [5 ptos] Las ra´ n−´simas de la unidad son de la forma ıces e zk = ei (1.2) [5 ptos] Se tiene por (1.1) que
n−1 n−1
2kπ n

,

k = 0, 1, . . . , n − 1.

zk =
k=0 k=0ei

2kπ n

= 1 + ei n + ei n + . . . + ei

2π

4π

2(n−1)π n

,

lo que se puede identificar como la suma de los n primero t´rminos de una progresi´n e o 2π e geom´trica de raz´n ei n y primer t´rmino 1. Luego, se tiene que e o
n−1

zk =
k=0

1 − e2πi 1 − ei n
2π

= 0.

(1.3) [5 ptos] Considerando ahora el producto,
n−1

zk = 1 · ei n · ei n · . . . · ei
k=0 n−1

2π4π

2(n−1)π n

= e(i n +i n +...+i

2π

4π

2(n−1)π ) n

=eni

2π

n−1 k=0

k

,

y como
k=0

k=

n(n − 1) , se tiene que 2
n−1

zk = e(n+1)πi
k=0

lo que es igual a 1 si n es impar y a −1 si n es par.

Problema 2[15ptos] La divisi´n debe restar 0 y el cuociente debe dar (x4 + 27x), el cual o √ √ 3 ıces u se factoriza como x(x + 27) , por lo tanto sus ra´ soni 2,−i 2, 0 y las ra´ c´bicas ıces √ √ 3 3 de 27 , las cuales son 3, (−1 − i 3), (−1 + i 3). 2 2 Problema 3 (3.1) [3 ptos] Haciendo OEF o bien con la matriz adjunta se encuentra  0 2 −1 2 =  −1 −1 0  1 0 −1 2  3

P −1 .

(3.2) [3 ptos] Como A es diagonalizable, por definici´n, se tiene que D debe ser diagonal, o es decir  x 0 0 D= 0 y 0  0 0 z donde x, y, z son inc´gnitas a encontrar.o Efect´amos los productos: u    1 2 −1 −1 −2 −1  1 0 1 = 1 1 1  4 −4 5 2 4 4     1 −x −2y −z 0 2 −2  y z   −1 −1 0  =  = x  2x 4y 4z 1 0 −1 2    x 0 0 0 2 −1 2 0 y 0   −1 −1 0  1 0 −1 0 0 z 2 x z 2y − z −2x + 2y − 2x 2z −y + z 2x − y − + 2 2 −4y + 4z 4x − 4y −x + 2z   .  

Igualando matriz a matriz se obtiene que x = 1, y = 2 y z = 3. (3.3) [2ptos] Es f´cil verque a    −3 −1 r3 =  3  = 3  1  12 4 donde se concluye lo pedido. 

Problema 4 [7ptos] Haciendo OEF sepuede ver que la matriz ampliada 1 1 a 1 b 1 −a 2 es similar a −b −b −ab −b 0 1 − ab −b − a 2−b de donde , para que el sistema sea incompatible se debe cumplir que R(A) = R(A|b), es decir, 1 − ab = 0, −b − a = 0 y 2 − b = 0. De la segunda expresi´n se tiene que b = −a, o 2 reemplazando...