polinomio de grado superior



POLINOMIOS DE GRADOSUPERIOR

Teorema del residuo, División sisntética, teorema del factor, teorema Fundamental del Álgebra, Teorema de las raíces Complejas, Teorema de los ceros racionales, Regla de los signos de Descartes,


Objetivo: Aprender a hallar raíces racionales de ecuaciones polinómicas.
Para obtener las raíces racionales necesitaremos principalmente lo siguiente:
1)Teorema del residuo
2) División sintética (Regla de Ruffini)
3) Teorema del factor
4) Cotas superior e inferior de ceros reales
5) Teorema de aislamiento de ceros
6) Teorema fundamental del Algebra
7) Teorema de las raíces conjugadas irracionales y complejas
8) Teorema de las raíces racionales
9) Regla de los signos de Descartes

Teorema del Residuo
El residuo que se obtiene aldividir un polinomio f(x) por x-a es f(a)
(Nota: Este teorema solamente es válido cuando se dividen por polinomios lineales)

Ejm: Hallar el residuo al dividir x5 - 4x3 + 5x2 + 3 por x-1
f(x) = x5 - 4x3 + 5x2 + 3
f(1) = 15 – 4(13) + 5 (12) + 3
= 1 - 4 + 5 + 3 = 5

x5 - 4x3 + 5x2 + 3 _____x - 1_______
-x5 + x4x4 + x3 - 3x2 + 2x + 2
x4 - 4x3
-x4 + x3
-3x3 + 5x2
3x3 - 3x2
2x2 + 3
-2x2 + 2x
2x + 3
- 2x + 2
5División Sintética (Regla de Ruffini)
(Sólamente es válido también para divisores lineales)
Para dividir sintéticamente el polinomio f(x) por x – a,
1. Escribe ordenadamente los coeficientes de f(x), según las potencias decrecientes de x, colocando un cero como coeficiente de cada una de las potencias que falten.
2. Sustituye el divisorx – a por a.
3. Lleva abajo el coeficiente principal de f(x), multiplica por a, coloca el producto debajo del coeficiente de la segunda potencia mayor de x y suma el producto a ese coeficiente. Continúa el proceso hasta que haya un producto sumado al término independiente de f(x).
4. El último número de la tercera fila es el residuo y los otros (leyendo de izquierda a derecha) son loscoeficientes del polinomio cociente q(x) cuyo grado es menor en una unidad que el grado de f(x).

Ejm: Hallar el residuo al dividir x5 - 4x3 + 5x2 + 3 por x-1

1 0 -4 5 0 3 1
1 1 1 -3 2 2__
1 1 -3 2 2 5

Coeficientes del cociente residuo

q(x) = x4 + x3 - 3x2 + 2x + 2

Ejm: Encuentre el residuo cuando p(x) =13x100 + 5x85 - 4x38 + 3x17 – 1 se divide po x +1
Solución: Aplicando el teorema del residuo tenemos:
p(-1) = 13.(-1)100 + 5.(-1)85 – 4.(-1)38 + 3(-1)17 – 1
= 13 - 5 - 4 - 3 - 1
= 0
Teorema del factor
x – a es un factor (o divisor) de f(x) si y solo si f(a) = 0

Ejm: Factorizar la siguiente expresión: x3- 7x + 6Aplicando el teorema del factor:
Sea p(x) = x3 - 7x + 6
p(1) = 13 – 7.1 + 6
p(1) = 1 – 7 + 6 = 0, luego (x – 1) es un factor de x3 - 7x + 6



Regla de Ruffini

1 0 -7 6 1
1 1 1 -6_
1 1 -6 0

x3 - 7x + 6 = ( x – 1) ( x2+ x – 6 )
= ( x – 1) ( x + 3 ) ( x – 2 )

Ejm: Factorizar 8x3 - 25x2 + 12x – 27
Aplicando el teorema del factor:
Sea p(x) = 8x3 - 25x2 + 12x – 27
p(3) = 8(3)3 – 25(3)2 + 12.3 – 27
= 216 - 225 + 36 - 27
= 252 – 252 = 0, luego ( x – 3 ) es un factor de 8x3 - 25x2 + 12x – 27

Regla de Ruffini

8 -25 12...