Polinomio De Newton

Polinomios de interpolación de Lagrange
Un polinomio de interpolación de Lagrange, p, se define en la forma:
| (68) |

en donde son polinomios que dependen sólo de los nodos tabulados , pero no de las ordenadas . La fórmula general del polinomio es:
| (69) |

Para el conjunto de nodos , estos polinomios son conocidos como funciones cardinales. Utilizando estos polinomios en laecuación (68) obtenemos la forma exacta del polinomio de interpolación de Lagrange.
Ejemplo: Suponga la siguiente tabla de datos:
x | 5 | -7 | -6 | 0 |
y | 1 | -23 | -54 | -954 |
Construya las funciones cardinales para el conjunto de nodos dado y el polinomio de interpolación de Lagrange correspondiente.
Las funciones cardinales, empleando la expresión (69), resultan ser:

El polinomio deinterpolación de Lagrange es:

Pauta Pregunta 2 Control 1, Cálculo Numérico MA33A Semestre Primavera 2006
i) POLINOMIOS DE INTERPOLACIÓN DE LAGRANGE

El polinomio de interpolación de Lagrange, simplemente es una reformulación del polinomio de Newton que evita los cálculos de las diferencias divididas. Este se puede representar concretamente como:

en donde:

Por ejemplo, la versión desegundo orden (n = 2) es:

Con esto, para los puntos: {(1,2), (3,5), (5,3)}

ii) INTERPOLACIÓN POLINOMIAL DE LAS DIFERENCIAS FINITAS DE NEWTON

El polinomio de n-ésimo orden es:

Se usan los puntos en la evaluación de los coeficientes b0, b1, ... , bn.
Se requieren n + 1 puntos para obtener un polinomio de n-ésimo orden: X0, X1, ... , Xn.
Usando estos datos, con las ecuacionessiguientes se evalúan los coeficientes:
b0 = f (X0) |
b1 = f [X1, X0] |
b2 = f [X2, X1, X0] |
... |
bn = f [X n, Xn-1, ..., X1, X0] |
En donde las evaluaciones de la función entre corchetes son diferencias divididas finitas.
Por ejemplo, la primera diferencia dividida finita se representa generalmente como:

La segunda diferencia dividida finita, que representa la diferencia de dosprimeras diferencias divididas finitas, se expresa generalmente como:

De manera similar, la n-ésima diferencia dividida finita es:

Estas diferencias se usan para evaluar los coeficientes de la ecuación, los cuales se sustituyen en la ecuación, para obtener el polinomio de interpolación:

Al cual se le llama Polinomio de Interpolación con Diferencias Divididas de Newton.
Para el caso de lospuntos {(1,2), (3,5), (5,3)}, se tiene el siguiente polinomio de Newton:

Con lo que:

Por lo tanto:

iii) POLINOMIO DE INTERPOLACIÓN UTILIZANDO MATRIZ DE VANDERMÔNDE

El polinomio de Interpolación de Vandermônde se obtiene utilizando el polinomio P en la base canónica como:

Para encontrar las constantes ai se imponen las condiciones de interpolación de los datos, es decir:

Lasecuaciones anteriores forman un sistema de ecuaciones lineales donde las incógnitas son los coeficientes del polinomio. En forma matricial este sistema se escribe:

La forma más usual de utilizar este método es la de utilizar el determinante = 0 de la matriz:

Para el caso de los puntos {(1,2), (3,5), (5,3)}, se tiene:

Interpolacion de Lagrange
publicado a la‎(s)‎ 06/12/2011 17:27 porestredcter Sugar XYZ 117 [ actualizado el 08/12/2011 20:08]
En análisis numérico, el polinomio de Lagrange, llamado así en honor a Joseph-Louis de Lagrange, es el polinomio que interpola un conjunto de puntos dado en la forma de Lagrange. Fue descubierto por Edward Waring en 1779 y redescubierto más tarde por Leonhard Euler en 1783. Dado que existe un único polinomio interpolador para un determinadoconjunto de puntos, resulta algo confuso llamar a este polinomio el polinomio interpolador de Lagrange. Un nombre más conciso es interpolación polinómica en la forma de Lagrange.Existen en todas las ramas de la ciencia, en la Física, en la Matemática, en la Química, en la Astronomía, en Biología, etc.. situaciones en las que conociendo un conjunto de datos experimentales en un cierto intervalo de...