Polinomios

Polinomios
Primeras definiciones. En este tema K denota al cuerpo de los n´
umeros reales R o al cuerpo de los
n´
umeros complejos C. Un polinomio de una variable x con coeficientes en K es una expresi´on del tipo
n

P (x) = p0 + p1 x + · · · + pn xn =

pj xj

pn = 0

j=0

donde p0 , p1 , . . . , pn ∈ K. Usaremos las siguientes notaciones:
El t´ermino independiente es p0 = P (0).
El coeficienteprincipal es pn .
El polinomio es m´
onico cuando pn = 1.
Si no es m´
onico, podemos normalizarlo, es decir, convertirlo en m´onico dividi´endolo por pn .
El grado del polinomio es n y escribiremos gr[P (x)] = n. (El polinomio nulo no tiene grado.)
K[x] denota al conjunto de polinomios con coeficientes en K.
Kn [x] denota al conjunto de polinomios con coeficientes en K de grado menor o igual quen.
Las operaciones b´
asicas para trabajar con polinomios son la suma de polinomios, el producto por
escalar y el producto de polinomios. Una manera compacta de listar las propiedades de las primeras
operaciones consiste en decir que (K[x], +, ·) es un K-ev y Kn [x] es un sev de dimensi´on n + 1 de K[x].
El producto de polinomios es una operaci´
on asociativa, conmutativa y posee elemento neutro(¿cu´al?).
La relaci´on de estas operaciones con el grado es la siguiente:
gr[P (x) + Q(x)] ≤ m´
ax gr[P (x)], gr[Q(x)] .
gr[P (x) · Q(x)] = gr[P (x)] + gr[Q(x)].
gr[λ · P (x)] = gr[P (x)], para todo 0 = λ ∈ K.
Divisi´
on entera de polinomios. Ya sabemos que es la divisi´on de n´
umeros enteros, en la cual se
obtiene un cociente y un resto. Por ejemplo, al dividir p = 37 entre q = 5 se obtiene uncociente
c = 7 y un resto r = 2. Cuando el resto da cero, decimos que la divisi´on es exacta y entonces p es un
m´
ultiplo de q. Por ejemplo, p = 35 es un m´
ultiplo de q = 5. Se puede hacer lo mismo con polinomios.
En el Teorema de la Divisi´
on Entera de Polinomios se afirma que dados dos polinomios P (x) y
Q(x) (llamados dividendo y divisor ), siendo Q(x) no nulo, existen dos u
´nicos polinomiosC(x) y R(x)
(llamados cociente y resto) tales que:
P (x) = Q(x) · C(x) + R(x) y
O bi´en R(x) = 0, o bi´en gr[R(x)] < gr[Q(x)].
Cuando el resto de la divisi´
on sea nulo (es decir, si la divisi´on es exacta), diremos que Q(x) es un
divisor de P (x), P (x) es un m´
ultiplo de Q(x) y escribiremos el s´ımbolo Q(x) P (x).
Ejercicio. Probar que las siguientes divisiones enteras son correctas.
a) P (x) =x99 + 1, Q(x) = x45 + 1 ⇒ C(x) = x54 − x9 , R(x) = x9 + 1 ⇒ x45 + 1 x99 + 1.
b) P (x) = x45 + 1, Q(x) = x9 + 1 ⇒ C(x) = x36 − x27 + x18 − x9 + 1, R(x) = 0 ⇒ x9 + 1 x45 + 1.
Ejercicio. Sea λ ∈ K tal que λ = 0. Probar que:
Si Q(x) es un divisor de P (x), el polinomio λ · Q(x) tambi´en es un divisor de P (x).
Si P (x) es un m´
ultiplo de Q(x), el polinomio λ · P (x) tambi´en es un m´
ultiplo de Q(x).Problema relacionado. 10.
MCD y MCM. Al igual que en el p´
arrafo anterior, pensar primero en n´
umeros enteros ayuda a
entender las definiciones y resultados que se dan a continuaci´on.
Dados dos polinomios P (x) y Q(x), su m´
aximo com´
un divisor D(x) = m.c.d.[P (x), Q(x)] es el
polinomio m´onico del mayor grado posible que es un divisor de P (x) y Q(x), mientras que su m´ınimo
com´
un m´ultiplo M (x) = m.c.m.[P (x), Q(x)] es el polinomio m´onico del menor grado posible que es
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Depositado en http://www.ma1.upc.edu/∼rafael/al/polinomios.pdf

un m´
ultiplo de P (x) y Q(x). Diremos que los polinomios P (x) y Q(x) son primos entre s´ı cuando
D(x) = 1. Si pn es el coeficiente principal de P (x) y qm es el coeficiente principal de Q(x), entonces
P (x) · Q(x) = pn · qm · D(x) · M (x).Adem´as, se cumple la identidad de B`ezout:
∀P (x), Q(x) ∈ K[x] ∃P1 (x), Q1 (x) ∈ K[x] t.q. D(x) = P1 (x) · P (x) + Q1 (x) · Q(x).
Estos polinomios P1 (x) y Q1 (x) no son u
´nicos. No vamos a probar ni la existencia y unicidad de los
polinomios D(x) y M (x), ni la existencia de los polinomios P1 (x) y Q1 (x). Sin embargo, describiremos
el algoritmo de Euclides que sirve para calcularlos. La idea...