Politica Educativa

Tema 4

Cálculo integral

Integral definida. Función integrable
Suma de Reimann
Sea el intervalo [a, b]. En conjunto de puntos:
Pn = {x0 , x1, . . . . . . . , xn }
Donde
x0 = a; xn = b; xi – 1 < x; i = 1, 2, . . . . ., n
Se llama partición o red de intervalo [a, b]
Se puede observar que una partición de un intervalo lo divide en “n”
subintervalos, y a cada uno de ellos se les llamatambién celda.
A la distancia entre los puntos extremos de cada celda se le llama
amplitud de celda, es decir:

∆1x = x1 -

x0 (amplitud de la celda uno)

∆2x = x2 -

x1 (amplitud de la celda dos)

en general la amplitud de la celda i – ésima es:

∆ix = xi -

xi – 1

Un mismo intervalo [a, b] puede tener infinidad de particiones ya
que el tamaño de las celdas es arbitrario.
A lamayor amplitud de las celdas de una partición se le llama
norma de la partición y se representa por medio del símbolo:
|| ∆ || o a veces con V(R)
Ejemplo:
Dado el intervalo [0, 10] efectuar dos particiones diferentes de 10
celdas y en cada caso decir cual es la norma.

1

Tema 4

Cálculo integral

Solución:
a) La primera partición se hará de diez celdas de igual amplitud
como seindica en la figura

Las diez celdas tienen la misma amplitud que vale la unidad.

∆1x = 1 – 0 = 1
∆2x = 2 – 0 = 1
∆3x = 3 – 2 = 1
∆4x = 4 – 3 = 1
∆5x = 5 – 4 = 1
∆6x = 6 – 5 = 1
∆7x = 7 – 6 = 1
∆8x = 8 – 7 = 1
∆9x = 9 – 8 = 1
∆10x = 10 – 9 = 1
b) La segunda partición se efectuará de la siguiente manera.

∆1x = 1.5 – 0 = 1.5
∆2x = 2 – 1.5 = 0.5
∆3x = 4 – 2 = 2
∆4x = 4.25 – 4 =0.25
∆5x = 4.5 – 4.25 = 0.25
∆6x = 4.75 – 4.5 = 0.25
∆7x = 5 – 4.75 = 0.25
2

Tema 4

Cálculo integral

∆8x = 7 – 5 = 2
∆9x = 9.9 – 7 = 2.9
∆10x = 10 – 9.9 = 0.1
La norma de esta partición es
|| ∆ || = 2.9
Supóngase que la función y=f(x) esta definida y limitada en el
conjunto D y considérese una partición de dicho conjunto que
contenga n intervalos.

ε

Si se escoge un puntoforma que:

ε ∈[x
ε ∈[x

, x1] donde x0 ≤
1 , x2] donde x1 ≤

1

0

2

.

.

1

≤ x1

2

≤ x2

i

≤ xi

.

.

ε
ε

.

.

en cada subintervalo de la partición de tal

ε ∈[x

i-1,

i

xi] donde xi-1 ≤

ε

y se forma la suma de productos del valor de f en cada punto
por la amplitud de la celda respectiva, se tendrá:

ε )∆ x
f( ε ) ∆ x
f(

11

n

+

f2(

ε )∆ x
2

2

+.............+

f(

ε )∆x
i

i

ε

+............+

n

En forma condensada se puede escribir:
n

∑
i =1

f(

ε )∆x
i

i

A esta suma de llama suma de Reimann.

3

Tema 4

Cálculo integral
n

1+2+3+. . . . . . + n=

∑ i = n(n2+ 1)
i =1

n

12+22 + 32 + . . . . . . n2 =

∑ i = n(n + 1)(2n + 1)
6
i =1
n

∑1= n
i =1

Ejemplo:
Dada f(x) = 5 -

1
x2
, con
≤ x ≤ 3, encuentre la suma de Reimann
4
4

para la función f dada la partición
x0 =

1
; x1 = 1, x2 = 1.5, x3 = 1.75, x4 = 2.25, x5 = 3
4

los puntos elegidos en cada celda son:

ε

1

= 0.5,

ε

2

= 1.25,

ε

3

= 1.75,

ε

4

= 2,

ε

5

= 2.75

La figura muestra la gráfica y los cincorectángulos.

4

Tema 4

Cálculo integral

La suma de Reimann es:
5

∑

f(

i =1

f(

ε )∆x
i

i

= f(

ε )∆ x
1

1

+ f2(

ε )∆ x
2

2

+ f(

ε )∆ x
3

3

+

ε ) ∆ x + f( ε ) ∆ x
4

4

5

5

=f(0.5)(1-0.25) + f(1.25)(1.5-1) + f(1.75)(1.75-1.5) + f(2)(2.251.75) + f(2.75)(3-2.25)
= (4.94)(0.75) + (4.61)(0.5) + (4.23)(0.25) + (4)(0.25) +
(3.11)(0.75)=11.40
La norma ||
||

∆ || es la longitud de la celda mas larga. Por lo tanto:

∆ ||= 0.75

Como los valores de la función f(x) no se restringen a valores no
negativos, algunos de los f( i) podrían ser negativos. En tal caso,
la interpretación geométrica de la suma de Reimann sería:

ε

“La suma de las medidas de las áreas de los rectángulos que están
sobre el eje X, mas los...