posgrado

TEMA 3. Funciones. C´
alculo diferencial

En este tema vamos a hacer un estudio preliminar de las funciones de una variable
real y el importante concepto de derivada. Comenzaremos recordando las funciones
b´asicas, para luego introducir la derivada y considerar algunas de sus aplicaciones.
´n
3.1. Concepto de funcio
Decimos que hay una correspondencia entre dos conjuntos cuando existenunas
determinadas reglas que permiten asociar elementos del primer conjunto (conjunto
inicial) con elementos del segundo conjunto (conjunto final).
Una aplicaci´on es una correspondencia que asigna a cada elemento del conjunto
inicial un u
´ nico elemento del conjunto final.
Cuando los conjuntos inicial y final son subconjuntos de R, hablamos de funciones reales de variable real. Por tanto unafunci´on de variable real f (x) es una
aplicaci´on f : D → R, de tal forma que a cada elemento x ∈ D le hacemos corresponder un u
´ nico n´
umero real f (x). Al conjunto D, un subconjunto de los n´
umeros
reales, se le llama dominio de la funci´on y se suele denotar por Dom(f ). Se llama imagen o recorrido de la funci´on al conjunto de todos los valores que toma
la funci´on, es decir Im(f )= {f (x) : x ∈ D}. El conjunto de puntos del plano
G = {(x, f (x)) : x ∈ D} se llama gr´
afica de la funci´on.

y = f (x)
y

(x, f (x))

x
Dada una funci´on f (x) es siempre importante saber determinar su dominio, es
decir, el conjunto de puntos para los que tiene sentido.

1

2
3.2. Propiedades de las funciones
Las funciones de variable real con las que solemos trabajardisfrutan de diversas
propiedades. A continuaci´on veremos algunas de las b´asicas.
Acotaci´
on. Una funci´on f est´a acotada superiormente si sus im´agenes no superan
cierto valor, esto es, cuando existe M ∈ R tal que f (x) ≤ M, para cualquier x del
dominio de f . Se dice que M es una cota superior.
De la misma forma, la funci´on f est´a acotada inferiormente si sus im´agenes
superan siempre uncierto n´
umero, es decir, si existe m ∈ R de tal forma que
f (x) ≥ m, para todo x en el dominio de f .
Decimos que una funci´on f est´a acotada si lo est´a superior e inferiormente. Esto
equivale a que existe M ≥ 0 de tal forma que |f (x)| ≤ M, para todo x del dominio
de la funci´on.
Ejemplos. La funci´on f (x) = x2 − 1 s´olo est´a acotada inferiormente (f (x) ≥ −1)
mientras que la funci´ong(x) = 1 − x2 lo est´a s´olo superiormente (g(x) ≤ 1). La
1
funci´on h(x) =
est´a acotada (|h(x)| ≤ 1)y la funci´on l(x) = x no est´a acotada
1 + x2
ni superior ni inferiormente.
2

2

y=1-x

y=x -1
1

-1

-1

1

1

-1

2

y=1/(1+x )

y=x

1

Periodicidad. Una funci´on es peri´
odica de periodo T (T = 0) cuando para todo
x del dominio, se tiene que x + T est´aen el dominio y f (x + T ) = f (x). Se llama
periodo fundamental de f al periodo m´as peque˜
no de f .
Ejemplo La funci´on f (x) = sen x es una funci´on peri´odica de periodo fundamental
2π.

3

1

- 2p

- 3p
2

- p2

-p

p
2

p

3p
2

2p

-1

Simetr´ıas. Se dice que una funci´on f es par cuando, para cada x de su dominio,
−x es tambi´en del dominio y se satisface f(−x) = f (x). En este caso, la gr´afica de
la funci´on es sim´etrica respecto al eje de ordenadas.
Decimos que una funci´on f es impar cuando, para cada x de su dominio, −x
pertenece tambi´en al dominio y se verifica f (−x) = −f (x). En este caso, la gr´afica
de la funci´on es sim´etrica respecto del origen de coordenadas.
Ejemplos

Función impar

Función par
f(x)

f(x)
-4

-x

x-x

-1
1
-f(x)

x

4

Algunas de las funciones con las que trabajaremo usualmente son pares o impares,
pero tambi´en existen muchas funciones que no son ni pares ni impares, como f (x) =
x2 + x.
Crecimiento y decrecimiento. Supongamos que f es una funci´on real de variable
real e I un intervalo contenido en su dominio.
f es creciente en I si para cada par de n´
umeros x1 , x2...