Practica2

MATEMÁTICAS EMPRESARIALES G.A.D.E.
CURSO 2012/2013
Práctica 2:

Aplicaciones a la Optimización.
En esta práctica se introducen las herramientas que nos ofrece el programa Mathematica para optimizar funciones de una o
más variables.

1. Breve resumen de optimización sin restricciones en
varias variables.
Pretendemos resolver el problema de calcular puntos críticos de una función f yclasificarlos.
Paso 1: Cálculo de puntos críticos. Los puntos críticos de la función son aquellos puntos que anulan su vector gradiente.
Paso 2: Estudiar la matriz hessiana evaluada en los puntos críticos:
Criterio 1: Determinantes o menores principales.
Criterio 2: Autovalores o valores propios.
Se recuerda que si la matriz hessiana evaluada en un punto crítico está asociada a una forma cuadrática definidapositiva,
entonces éste será un mínimo local y si es definida negativa, un máximo local. En el caso de que sea indefinida, será un
punto de silla (no nos interesa en la optimización).

2. Cálculo de puntos críticos y clasificación.
Para el cálculo de puntos críticos de una función, emplearemos la sentencia
Solve

derivada1

0, derivada2

0, ... , variable1, variable2, ...

donde derivada1,derivada2,... corresponden a las derivadas parciales de orden uno respecto de la primera, segunda,....
variables.

Ejercicio 1
Calcula y clasifica los puntos críticos de la función g x, y, z

x2

y2

z

1 2.

Paso1: Se define la función:
g x ,y ,z

: x^2

y^2

z

1 ^2

Paso2: Se calculan las derivadas parciales de la función y se igualan a cero, así obtenemos los puntos críticos:
Solve

x

g x, y, z

Seobtiene el punto crítico (0,0,1).

0,

y

g x, y, z

0,

z

g x, y, z

0 , x, y, z

2

Practica2.nb

Se obtiene el punto crítico (0,0,1).
Paso 3: Para la clasificación del punto crítico, debemos construir en primer lugar la matriz Hessiana:
x,x g

hessiana x , y , z

x, y, z

x,y g

x, y, z

x,z g

x, y, z

y,x g x, y, z

y,y g x, y, z

y,z g x, y, z

z,x g

z,y g

z,z g

z, y, z

x, y, z

x, y, zPaso 4: Se evalúa la matriz Hessiana en el punto crítico obtenido. Con el comando Eigenvalues determinamos sus valores
propios y por tanto su carácter.
hessiana 0, 0, 1
Eigenvalues hessiana 0, 0, 1

Todos los valores propios son positivos, luego la matriz es definida positiva, y el punto crítico es un mínimo local. Para hallar
el valor del mínimo, evaluamos la función en el punto crítico:
g 0, 0,1

Ejercicio 2
Optimiza la función f x, y

x2

y2

yx

Paso1: Se define la función:
f x ,y

: x^2

xy

y^2

Paso2: Se calculan las derivadas parciales de la función y se igualan a cero, así obtenemos los puntos críticos:
Solve

x

f x, y

0,

y

f x, y

0 , x, y

Se obtiene el punto crítico (0,0).
Paso 3: Para la clasificación del punto crítico, debemos construir en primer lugar la matrizHessiana:

hessiana x , y

x,x f

x, y

x,y f

x, y

y,x f

x, y

y,y f

x, y

Paso 4: Se evalúa la matriz Hessiana en el punto crítico obtenido. Con el comando Eigenvalues determinamos sus valores
propios y su carácter.
hessiana 0, 0
Eigenvalues hessiana 0, 0

Todos los valores propios son positivos, luego la matriz es definida positiva, y el punto crítico es un mínimo local. Para hallar
el valor delmínimo, evaluamos la función en el punto crítico:
f 0, 0

Practica2.nb

Luego tenemos un mínimo local en (0,0) con valor f 0, 0

3

0. Para visualizar dicho mínimo podemos recurrir al comando

Plot3D estudiado en la práctica anterior:
Plot3D f x, y , x,

2, 2 , y,

2, 2

Ejercicio 3
Calcula y clasifica los puntos críticos de la función h x, y, z

x

1

2

y

2

4

z2

x y.

Paso1: Se define lafunción:
h x ,y ,z

:

x

1 ^2

y

2 ^4

z^2

xy

Paso2: Se calculan las derivadas parciales de la función y se igualan a cero, así obtenemos los puntos críticos:
Solve

x

h x, y, z

0,

h x, y, z

y

1

Se obtienen los puntos críticos 0, 2, 0 ,
4

,
2

0,

1
4

8

z

h x, y, z

1

,0 y

2

0 , x, y, z

4

,
2

1
4

8

2

,0 .

Paso 3: Para la clasificación de los puntos críticos, debemos construir...