Presion en los fluidos

Capítulo 2

Los números naturales y los números enteros
Los números 1 2 3 : : : 8 : : : y otros, son bien conocidos por todos desde la escuela; los llamamos los números naturales. En este curso deseamos pensar en 0 (cero) también como un número natural1 . El conjunto de todos los números naturales lo denotamos con el símbolo N.

N = f0 1 2 3 4 5

: : : n : : :g

En razonamientosmatemáticos o lógicos es conveniente representar los números con letras; para indicar que la letra m representa un número natural escribimos m 2 N y lo leemos «m pertenece a N». Sabemos que hay infinitos números naturales, pues para cada uno de ellos hay otro distinto que le sucede (y no le precede). Hablamos del orden < en los naturales y su propiedad de tricotomía afirmando que dados n m 2 N entonces setiene exactamente una de las tres posibilidades:

n m) y decimos que m es menor que n (o n es mayor que m). La relación en N satisface las propiedades básicas siguientes: (siendo m n p números naturales cualesquiera)



6=

Todas esta propiedades, excepto (2) y (4), pueden demostrarse a partir de la definición y las propiedades básicas de la suma y el producto; demostraremos una de ellas,dejando las demás como ejercicio; en cuanto a (2) y (4), las dejaremos para más adelante en la sección de inducción. n y n m y queremos probar m n. Como m n, Tratemos de probar (2): suponemos m existe p N tal que m p n y, como n m, existe q N tal que n q m; de allí se obtiene n q p n y por tanto q p , lo cual implica p q . Luego m n. Hay un problema: entonces p q ; esto no es posible usandoúnicamente las no hemos probado que si q p propiedades (1)-(9). Probemos (6):

+ + =

2

+ = + =0 + =0

 



= =0 = =0

2

+ = =

=



Prueba: La primera parte es fácil: supongamos que m + p  n + p entonces existe r 2 N tal que m + p + r = n + p, lo cual implica m + r + p = n + p, de donde se obtiene m + r = n, lo cual significa m  n que es lo que queríamos probar.

Lasegunda parte no es tan sencilla y necesitamos usar la propiedad de dicotomía (4). Supongamos que m:p  n:p con p 6= 0; queremos probar que, entonces, m  n; procedamos por reducción al absurdo, suponiendo que m  n es falso; por la propiedad de dicotomía esto significa que n < m, es decir, existe r 2 N, con r 6= 0, tal que n + r = m; multiplicando por p, se obtiene np + rp = mp, lo cual significa quenp  mp. Esto junto con la hipótesis mp  np implica np = mp (por la antisimetría). De np + rp = mp y np = mp, se obtiene r:p = 0, lo cual es una contradicción ya que r 6= 0 y p 6= 0 (explique usted por qué es una contradicción). Como el suponer que m  n es falso nos lleva a una  contradicción, m  n tiene que ser verdadero.

2.3.1 Inecuaciones
En la sección anterior vimos como la relación dalugar al concepto de ecuación; lo análogo para la relación (o > Esta tabla contiene varias propo> > siciones verdaderas, pero es claro > = podemos concluir que cual> que nonúmero natural será menor > quier . > que 1000 > >

Por otro lado, volviendo a la primera tabla de proposiciones, es cierto que el n-ésimo número impar es 2n 1. Para probarlo, vamos a usar el principio de inducción (II), conm = 1. Probaremos: (b) si el número impar que ocupa el lugar k es 2:k 2k + 1 1. (a) el número impar que ocupa el lugar 1 es 2:1

1.

1, entoces, el que ocupa el lugar k + 1 es

2. Hallemos ahora una formula para la suma de los n primeros números naturales impares. Observemos que

Si 2k 1 es el número impar que ocupa el lugar k el siguiente es 2k 1 + 2 = 2k + 1 1 por tanto ( 1b ) escierto. Como ( 1a ) es cierto también, el principio de inducción (II) asegura que cualquiera que sea n el número impar que ocupa el lugar n es 2n 1.

1= 1+3 = 1+3+5 = 1+3+5+7 = 1+3+5+7+9 =
Esto nos lleva a conjeturar que (2.2)

1= 4= 9= 16 = 25 = 1 = n2

12 22 32 42 52

Es decir, «la suma de los n primeros números impares es n 2 ». Lo probamos por inducción: (b) supongamos que ( 2.2 )...