prob

UNIVERSIDAD DE ATACAMA
´
FACULTAD DE INGENIER´ / DEPARTAMENTO DE MATEMATICA
IA

ESTAD´
ISTICA Y PROBABILIDAD
PAUTA SEGUNDA PRUEBA PARCIAL
Profesor: Hugo S. Salinas.

Primer Semestre 2009

1. Resolver los siguientes problemas:
a) Se lanza un dado consecutivamente hasta que aparezca por primera vez un 1. Supongamos
que en el primer lanzamiento no hemos obtenido un 1. Calcular laprobabilidad de que
sean necesarios m´s de tres lanzamientos para conseguir el 1 por primera vez.
a
Soluci´n:
o
Sea X : n´mero de lanzamientos hasta obtener un 1. Luego X es una variable aleatoria
u
(v.a.) Geom´trica con p = 1/6, donde x = 1, 2, . . . , entonces:
e
P ({X > 3} ∩ {X > 1})
P (X > 1)
P (X > 3)
1 − P (X ≤ 3)
=
=
P (X > 1)
1 − P (X ≤ 1))

P (X > 3|X > 1) =

3

1−
=(5/6)x−1 (1/6)

x=1

1 − (5/6)0 (1/6)

= 0.694

Es decir, el 69 % de las veces es necesario lanzar m´s de tres veces para conseguir el 1
a
cuando el primer lanzamiento no hemos obtenido un 1.
b) Un vendedor de enciclopedias sabe que la probabilidad de obtener un cliente en cada visita
es 0.3. Si este vendedor detiene sus ventas cuando logra vender la d´cima enciclopedia en
e
el d´¿Cu´l es la probabilidad de que, a lo largo de un mes de 30 d´ no tenga que hacer
ıa.
a
ıas,
m´s de 40 visitas diarias?. (Asumir independencia entre las visitas diarias).
a
Soluci´n:
o
Sea X : n´mero de visitas diarias necesarias hasta vender 10 enciclopedias diariamente.
u
Luego X es una v.a. Binomial Negativa (Pascal) con p = 0.3 y r = 10, donde x = 10, 11, . . .,
entonces:
P (X < 40) =P (X = 10) + P (X = 11) + . . . + P (X = 49)
39

=

P (X = x)
x=11
39

=
x=11

SEGUNDA PRUEBA PARCIAL

x−1
(0.7)x−10 (0.3)10
10 − 1
1

c) En el juego del KINO se tienen 25 bolitas y se extraen 14 de ellas. Se sabe que el premio
menor (recuperar el dinero) se obtiene a los 10 aciertos. ¿Cu´l es la probabilidad de obtener
a
alg´n premio en el juego (al menos se recupere eldinero).
u
Soluci´n:
o
Sea X : n´mero de aciertos que resultan al extraer 14 n´meros (sin reposici´n) de un
u
u
o
total de 25. Luego X es una v.a. Hipergeom´trica con N = 25, D = 14 y n = 14, donde
e
x = 0, 1, 2, . . . , 14, entonces:
P (X ≥ 10) = P (X = 10) + P (X = 11) + . . . + P (X = 14)
14

=
=

14
x

x=10
14 11
10
4

11
14−x
25
14
+ 14
11

11
3
25
14

+ ...+

14
14

11
0

330330 + 60060 + 5005 + 154 + 1
= 0.0887
4457400
Es decir, existe un 8.87 % de posibilidad de ganar alg´n premio.
u
d ) Del problema c). ¿Cu´ntos cartones deber´ jugar para aspirar a ganar alg´n premio?
a
ıas
u
Soluci´n:
o
Sea Y : n´mero de cartones a jugar hasta conseguir alg´n premio. Luego Y es una v.a.
u
u
Geom´trica con p = 0.0887 donde y = 1, 2, 3, . .., entonces:
e
1
1
= 11.27
E(Y ) = =
p
0.0887
Es decir, se deben jugar 11 cartones aproximadamente.
e) Cierto banco ha comprobado que la probabilidad de que un cliente con fondos extienda
un cheque con fecha equivocada es de 0.001. En cambio, todo cliente sin fondos pone una
fecha err´nea en sus cheques. El 90 % de los clientes del banco tienen fondos.
o
Si llegan 6 cheques con fechaequivocada, ¿cu´l es la probabilidad que al menos uno de
a
estos haya sido emitido por un cliente con fondos?
Soluci´n:
o
Para un cliente del banco, se obtiene:
=

P (fecha equivocada | con
P (fecha correcta | con
P (fecha equivocada | sin
P (fecha correcta | sin
P (con
P (sin

fondos)
fondos)
fondos)
fondos)
fondos)
fondos)

=
=
=
=
=
=

0.001
0.999
1
0
0.9
0.1Sea Z : n´mero de cheques equivocados emitidos por clientes con fondos, de un total de 6
u
cheques. Luego Z es una v.a. Binomial con n = 6 y p = P (con fondos | fecha equivocada).
Primero debemos calcular P (con fondos | fecha equivocada), en efecto:
P (con fondos )P (fecha equivocada | con fondos)
P ( fecha equivocada)
(0.9)(0.001)
=
= 0.0089
(0.9)(0.001) + (0.1)(1)

P (con fondos...