Probabilidad

3.-Modelos Univariantes de Distribución de Probabilidad El proceso de Bernoulli y sus distribuciones asociadas Distribución: Bernoulli Una prueba de Bernoulli es un experimento aleatorio con dos posibles resultados mutuamente excluyentes: Éxito (E) y fracaso (F). P (E) = p; P (F) = q; p + q = 1 Una v.a. X tiene la distribución de Bernoulli si toma dos valores 0 y 1 con probabilidades P(X =1) = pP(X = 0) = q =1- p p∈(0,1) µ = E(X) = p σ2 = var(X) = p – p2 = pq
0.1

Parameters: Event prob. (p) Cumulative Distribution Lower Tail Area ()P(X>variable) Variable Dist. 0 0.1 0.5 0.1 1 0.0 1.5 0.0 2 0.0
32

Distribution: Binomial B (n, p) Un experimento binomial consiste en repetir n veces de forma independiente el experimento de Bernoulli. La v.a. que cuenta el número de éxitos sigue unadistribución binomial de parámetros (n, p). La v.a. X toma los valores 0, 1,2,..., n con probabilidades n  n  k n−k P(X = k) =   p q k = 0, 1, 2, ..., n ∑ P(X = k) = 1 k k =0   X = X1 + X2 + ... + Xn con Xi v.a. de Bernoulli µ = E(X) = np σ2 = var(X) = n pq

La varianza es máxima para p = ½ La distribución binomial es reproductiva respecto del parámetro n. Si X es B(n, p) e Y es B (m, p)y son independientes entonces X + Y es B(n + m, p)
Parameters: Dist Event prob (p) Trials (n) 0.1 10 Probability Mass Upper Tail Area P(X=variable) P(X>variable) 0.348678 0.651322 0.38742 0.263901 0.19371 0.0701906 0.0573956 0.012795 0.0111603 0.00163472 0.00148803 0.000146689 0.0000087 1.60241E-7

Variable Lower Tail Area P(X< variable) 0 0.0 1 0.348678 2 0.736099 3 0.929809 4 0.987205 50.998365 7 0.999991

33

Binomial Distribution funcion de probabilidad
0.4 0.3 0.2 0.1 0 0 2 4 6 8 10 B(10,0.1) P=0.1 n=10 media=1 varianza=0.9

0.1 0.08 0.06 0.04 0.02 0 0 20 40 60 80 100

B(100,0.2) P=0.2 n=100 media=20 varianza=16

Cumulative Distribution Variable Lower Area() 0.0000149769 0.999981 0.0480618 0.871494 0.0993002 0.440538 0.0438778 0.0874754 0.000188947 0.0001471

11 1520 25 30

percentil percentil percentil percentil percentil

1 10 50 o mediana 90 99

34

Binomial Distribution cumulative probability
1 0.8 0.6 0.4 0.2 0 0 20 40 60 80 100

x
Función de distribución

Distribución geométrica: G (p) Repetimos ensayos de Bernoulli independientes hasta que salga el primer éxito. La variable que cuenta el número de ensayos tiene distribución geométrica.X = número de ensayos necesarios para obtener el primer éxito. k = 1, 2,.... Σ P(X=k) = 1 P(X = k) = p qk-1 µ = E(X) = 1/p σ2 = var(X) = q/p2 Otros autores definen X = nº de fracasos antes del primer éxito. En este caso P(X = k) = p qk k = 0, 1,2,.... Σ P(X=k) = 1 µ = E(X) = q/p σ2 = var(X) = q/p2 La distribución geométrica tiene la propiedad de pérdida de memoria P(X > m+n/X > m) = P(X > n)35

Distribution: Geometric Parameters: Dist Event prob. 0.01 Lower Tail Area () Variable Dist. 0 0.99 1 0.9801 3 0.96059 8 0.91351 10 0.89533 18 0.82616

Distribution: Geometric (percentiles) CDF Dist. 1 0.01 0 0.1 10 0.5 68 0.9 229 0.99 458
Función de probabilidad Función de distribución

0.01 0.008 0.006 0.004 0.002 0 0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500 550 600

G(0.01)

1 0.80.6 0.4 0.2 0 0 200 400 600

G(0.01)

x

x

0.1 0.08 0.06 0.04 0.02 0 0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60

G(0.1)

1 0.8 0.6 0.4 0.2 0 0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60

G(0.1)

x

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Distribución Binomial negativa o de Pascal BN(n, p) Nº de ensayos necesarios para conseguir el n-ésimo éxito X= n, n + 1, n + 2,...  i − 1  n i −n P(X = i) =   n − 1 p q  i= n, n+1,...  X = X1+X2+...+Xn con Xi v.a. Geométricas E(X)= n/p var(X)= (nq)/(p2) También se puede definir como Nº de fracasos anteriores al n-ésimo éxito X= 0, 1, 2,...
 n + i − 1 n i P(X = i) =   i p q   

i= 0, 1,...

E(X)= (nq)/p

var(X)= (nq)/(p2)

La distribución binomial negativa es reproductiva respecto del parámetro n. Si X es BN(n, p) e Y es BN(m, p) y son independientes...