probabilidad

PROBABILIDAD CONDICIONAL E INDEPENDENCIA


Se considera la diferencia que existe entre elegir al azar un artículo de un lote con o sin sustitución. Por ejemplo un lote tiene la siguiente composición: 80 artículos sin defectos y 20 defectuosos. Supóngase que elegimos dos artículos: a) con sustitución y b) sin sustitución.
Se definen los eventos:
A= {el primer artículo es defectuoso}
B= {elsegundo artículo es defectuoso}
Si escogemos con sustitución. P (A)= P (B)= 20/ 100= 1/5. Cada vez que elegimos, en el lote hay 20 artículos defectuosos de un total de 100. Sin embargo, si elegimos sin sustitución. Los resultados no son totalmente inmediatos. Todavía es verdad, por supuesto, que P (A)=1/5. Pero. ¿Cuál es el calor de P(B)? Es evidente que con el propósito de calcular P(B)deberíamos conocer la composición de lote cuando se escoge el segundo artículo. En otras palabra, deberíamos saber si el evento A ocurrió o no. Este ejemplo indica la necesidad de presentar el siguiente concepto importante.
Sea A y B dos eventos asociados con un experimento e. Indiquemos con P (A|B)= 19/99. Porque si A ha ocurrido, entonces, al sacar por segunda vez, sólo quedan 99 artículos de loscuales 99 son defectuosos.
Cada vez que calculamos P (A|B), esencialmente estamos calculando P(B) respecto al espacio muestral reducido, A, en vez de espacio muestral original S. consideremos el diagrama de ven ver figura 1.1
Ejemplo: se lanzan dos dados normales y se anotan los resultados (x_1,x_2), donde x_1 es el resultado del i-ésimo dado, i= 1,2 por tanto, el espacio muestra S se puederepresentar por el siguiente arreglo de 36 resultados posibles



(1,1) (1,2) . . (1,6)
(2,1) (2,2) (2,6)
.
.
. .
. .
(6,1) (6,6)


Consideremos los dos eventos siguientes:
A={(x_(1,) x_2 )┤| x_(1,)+ x_(2,)=10}, B={(x_(1,) x_2 )┤| x_(1,)> x_(2 ) }
Asi A= { (5,5), (4,6), (6,4) } y B= { (2,1); (3,1), (3,2), … , (6,5)}. Por tanto, P (A)= 3/36 y P(B)= 15/36. Además,P(A|B)=1/3, ya que el espacio muestral es ahora A ( que son tres resultados), solo uno de ellos es consiente con el evento B. Por lo cual podemos calcular P (A|B)=1/3
Finalmente calculemos P (A∩B). El evento (A∩B) ocurre si y solo si la suma de los dos dados es diez y el prime dado indica un valor mayor que el segundo. Solamente hay un resultado y, por tanto (A∩B)=1/36. Si observamos con cuidadodiversos números se cumple que.
P=(A∩B)= (P (A∩B))/(P(B)) Y P (B│A)= (P(A∩B).)/(P(A))
Sucede que esas relaciones no solo aparecen en los ejemplos particulares que hemos considerado, sino que son completamente generales y nos dan un medio de definir formalmente la probabilidad condicional.
Para justificar esta definición, recordemos sobre el concepto de frecuencia relativa, supongamosque un experimento e se ha repetido n veces. Sean n_A,n_B y n_(A∩B) el numero respectivo de veces que los eventos A, B y A∩B han ocurrido en las n repeticiones. Esto representa la frecuencia relativa de B entre esos resultados en los que A ocurrió. Esto es n_(A∩B /n_A )es la frecuencia relativa condicional de B, dado que A ocurrió.
Podemos escribir n_(A∩B /n_A ) como lo siguiente:
n_(A∩B )/n_A=n_(A∩B /n_A )/(n_A/n)=(fA∩B )/fA
Donde fA∩B y fA son las frecuencias relativas de los eventos A∩B y A, respectivamente. Como ya hemos visto n, el número de repeticiones es grande, fA∩B y fA estará cercana a P (A). Por lo tanto, la relación anterior sugiere que n_(A∩B /n_A ) estará cercana a P (B│A), Así, hacemos la siguiente definición formal:
P (B│A)= ( P (B│A))/(P(A)) dado que P(A)>0.Observaciones.
0≤ P (B│A)≤1
P (S│A)=1
P (B_1∪B_2 |A)=P( B_1 |A)+p(B_1│A) si B_1∩ B_2=∅.
P (B_1∪B_2…|A)=P( B_1 |A)+p(B_1│A)+⋯si B_i∩ B_j=∅ para i ≠j
Ejemplo 1.2
Un lote tiene la siguiente composición: 80 artículos sin defectos y 20 defectuosos, si escogemos 2 artículos al azar, sin sustitución, ¿Cuál es la probabilidad de que ambos artículos sean defectuosos?
A= {el primer...