probabilidad

Problemas de C´
alculo de Probabilidades

Francisco Montes
Departament d’Estad´ıstica i Investigaci´
o Operativa
Universitat de Val`
encia

´Indice general
1. Probabilidad

3

2. Variables y vectores aleatorios

25

3. Esperanza

49

4. Convergencia y teoremas l´ımite

97

A.

109
A.1. Series aritm´etico-geom´etricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 109
A.2. Suma de cuadrados de los n primeros enteros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111

1

2

´INDICE GENERAL

Cap´ıtulo 1

Probabilidad
Problema 1.1 Proporcionamos a A un trozo de papel para que escriba un signo + o un signo
−, sabiendo que escribe el primero con probabilidad 1/3. El papel pasa a B, quien lo deja
como est´
a o cambia el signo antes de pasarlo aC. A continuaci´
on C, que puede o no haber
cambiado el signo, lo pasa a D, quien finalmente nos lo devuelve tras haber introducido o no
alg´
un nuevo cambio. Si comprobamos que el papel tiene escrito un signo + y sabemos que la
probabilidad de que B, C y D cambiaran el signo es 2/3, obtener la probabilidad de que A
escribiera originalmente un signo +.
Soluci´
on.- Sean N , M y E lossucesos,
N ={A escribi´
o un signo +},
M ={A escribi´
o un signo −},
E={el papel tiene escrito un signo +}.
Aplicando Bayes,
P (N |E) =

P (E|N )P (N )
,
P (E|N )P (N ) + P (E|M )P (M )

donde E|N representa el suceso, no se cambi´
o el signo + inicial o se cambi´
o dos veces, por lo
que
3
2
1
2
1
P (E|N ) =
+3
,
3
3
3
y E|M representa el suceso, se cambi´
o el signo −inicial un n´
umero impar de veces, por lo que
P (E|M ) = 3
Se sigue,
P (N |E) =

1 1 3
3[ 3

+3

2
3

1
3

1 1 3
+3
3[ 3
2 2 1
3
3 ]+

2

+

2 2 1
3
3
2
2
3 [3 3

2
3

3

.

]
1 2
3

+

2 3
3 ]

=

13
.
41

Problema 1.2 Un test para diagnosticar cierta enfermedad tiene una sensibilidad del 95 % y
una especificidad del 99 %. Si la enfermedaden cuesti´
on tiene una prevalencia del 0.5 %, ¿cu´
al
es el valor predictivo del test?

3

4

Cap´ıtulo 1. Probabilidad

Soluci´
on.- Los conceptos de sensibilidad, especificidad, prevalencia y valor predictivo proviene
del lenguaje utilizado en el mundo sanitario y debemos, en primer lugar, traducirlos a nuestro
lenguaje probabil´ıstico.
Consideremos los sucesos M ={un individuopadece la enfermedad } y + ={el resultado del
test es positivo}, entendiendo por positivo que el test diagnostica al individuo como enfermo.
Con estos dos sucesos tenemos que
- sensibilidad = P (+|M ) = 0,95
- especif icidad = P (−|M c ) = 0,99, su complementaria P (+|M c ) es la probabilidad de falsos
positivos
- prevalencia = P (M ) = 0,005
El valor predictivo es P (M |+), para cuyoc´alculo recurriremos al teorema de Bayes,
P (+|M )P (M )
0,95 × 0,005
95
=
=
= 0,3231
P (+|M )P (M ) + P (+|M c )P (M c )
0,95 × 0,005 + 0,01 × 0,995
294
(1.1)
El resultado sorprende por lo bajo. A pesar de la elevada sensibilidad del test, su valor
predictivo (V P ) es muy pobre. Puede ser interesante estudiar la variaci´on de V P en funci´on
de la sensibilidad (S) y la prevalencia (P ).Para ello hagamos ambas variables con valores
P (+|M ) = s y P (M ) = p. La expresi´on (1.1) se convierte en
P (M |+) =

VP =

sp
.
0,01 + p(s − 0,01)

1,0
,9

valor predictivo

,8
,7
,6
,5
,4
,3
0,00

sens 99
sens 90
,05

,10

,15

,20

,25

,30

,35

,40

,45

,50

prevalencia

La gr´afica nos muestra c´omo la variaci´on de V P depende m´as de laprevalencia que de la
sensibilidad, pues no hay pr´acticamente diferencias entres las curvas correspondientes a sensibilidades de 0,90 y 0,99. La influencia de la prevalencia es muy acusada y pone de manifiesto
que prevalencias muy bajas dan valores de V P muy pobres aun cuando la sensibilidad sea alta.
Para alcanzar un V P del orden de 0,90 se exige una prevalencia del orden de 0,10.
Problema...