probabilidad

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2.2 Valor esperado y varianza de una variable aleatoria
En esta etapa es conveniente señalar que las distribuciones de probabilidad constituyen
modelos matemáticos ó teóricos de las distribuciones de frecuencia empíricas vistas en
estadística descriptiva.

.39
.25
.17
.13 .13
0.01
|
|
1
2

|
3

|
4

|
5

|
6

0.02
|
7

Ejemplo:
Dado el siguiente histograma derectángulos de base 1 cada uno, donde el área de
cada uno de ellos representa la frecuencia relativa del número de estudiantes inscritos
en un curso, dos cursos hasta siete cursos en un semestre para la Universidad
Autónoma de Ciudad Juárez; si se considera que el Histograma refleja de manera fiel
los porcentajes anuales, entonces es posible considerar como su modelo teórico la
siguientedistribución de probabilidad para X =número de cursos en los que esta inscrito
un estudiante elegido al azar.

x

1

2

3

4

5

6

7

p( x) 0.01 0.13 0.13 0.25 0.39 0.17 0.02
Si la cantidad de estudiantes en la UACJ es de 10,000 entonces es posible estimar del
modelo teórico la cantidad de estudiantes inscritos en cada curso. En efecto usando la
tabla anterior, tenemos que

x1

p ( x)

0.01

2

3

0.03 0.13

4

5

6

7

0.25 0.39 0.17 0.02

Inscritos
por curso 100

300 1300 2500 3900 1700 200

El número de inscritos se obtuvo así:
10,000 P [1] = ( 0 .01 )(10,000) = 100
10,000 P [2] = (10,000)( 0.03) = 300 etc.

80
Más aún es posible tener una estimación de la cantidad promedio de cursos a
los que se inscribirán ; para ello bastacon calcular la media ponderada.

1(100)  2(300)  3(1300)  4(2500)  5(3900)  6(1700)  7(200)
 4.57
10, 000
por lo tanto los estudiantes de la UACJ se inscriben en 4.57 cursos en promedio cada
semestre.
Finalmente notemos que la suma anterior se puede escribir por:
1 P (1) + 2 P (2) + ….. + 7 P(7) = 4.57 que es también llamado el valor esperado de
la variable aleatoria X = # deestudiantes inscritos por curso.

Valor esperado de X
La definición formal del valor esperado es:
Definición:
Sea X una variable aleatoria discreta y p(x) su distribución de probabilidad .El valor
esperado de X o media, denotada
por E(X) o µx es :
E(X) =

 xp( x)
x

Nota:
También se conoce a E(X) como Esperanza matemática o simplemente como la
Esperanza de la variable aleatoria X .Ejemplo:
Para X= "Número de cursos inscritos". Del ejemplo anterior,
µx = 1P (1) + 2 P(2) + .....+ 7 P (7)
= 1(.01) + 2(.03) +.....+ 7(.02)
= .01 + .06
+.39 + 1.95 + 1.02 + 1.4
= 4.57
µx = 4.57 Es el promedio de cursos a los que se espera se
Inscriban cada semestre cualquier población de estudiantes.

Ejemplo:
Después del parto cada niño recién nacido es sometido a una revisiónmédica que
comprende: peso, color, tono muscular, esfuerzo respiratorio, pulso y reflejos. El
resultado de esta revisión se registra con una calificación X donde los posibles valores
son 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 y 10. (El mejor resultado o calificación es de 10). Puesto
que X es una variable aleatoria. Supongamos que su distribución de probabilidad se
obtuvo como los porcentajes después deregistrar durante un año los valores de X en
cierto hospital:
X
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
P[X=x] .002 .001 .002 .005 .02
.04
.18
.37
.25
.12
.01
Entonces la calificación promedio o valor esperado de X es:

81
E(X) =µx = 0(.002)+1(.001)+2(.002)+3(.005)+4(.02)+5(.04)+6(.18)+7(.37)
+8(.25)+9(.12)+10(.01) = 7.15
Ejemplo:
Sea X una variable aleatoria Bernoulli con distribución deprobabilidad.

(1  p)1 x p x
p ( x)  
0


, si x  0,1
, en otro caso

Entonces:
E(X) = 0p (0) + 1p (1) = 0 (1-p)+1p = p
Si interpretamos lo anterior como una población de unos y otros que aparecen en
proporción p y 1-p respectivamente entonces el promedio poblacional es de µx = p.
Ejemplo:
La distribución de la variable X= número de niños que nacen hasta que el primer...