PROBABILIDADES Y ESTADISTICA

DISTRIBUCIÓN GAMMA

Guillermo Mir Piorno
NIUB 11130641
Ciencias Actuariales y Financieras
ESTADÍSTICA ACTUARIAL NO VIDA

La distribución Gamma
Es una distribución adecuada para modelizar el comportamiento de variables aleatorias continuas con
asimetría positiva. Es decir, variables que presentan una mayor densidad de sucesos a la izquierda de la
media que a la derecha. En su expresiónse encuentran dos parámetros, siempre positivos, (α) y (β) de los
que depende su forma y alcance por la derecha, y también la función Gamma Γ(α), responsable de la
convergencia de la distribución.
Los parámetros de la distribución
El primer parámetro (α) situa la máxima intensidad de probabilidad y por este motivo en algunas fuentes se
denomina “la forma” de la distribución: cuando se tomanvalores próximos a cero aparece entonces un
dibujo muy similar al de la distribución exponencial. Cuando se toman valores más grandes de (α) el centro
de la distribución se desplaza a la derecha y va apareceiendo la forma de una campana de Gauss con
asimetría positiva. Es el segundo parámetro (β) el que determina la forma o alcance de esta asimetría
positiva desplazando la densidad deprobabilidad en la cola de la derecha. Para valores elevados de (β) la
distribución acumula más densidad de probabilidad en el extremo derecho de la cola, alargando mucho su
dibujo y dispersando la probabilidad a lo largo del plano. Al dispersar la probabilidad la altura máxima de
densidad de probabilidad se va reduciendo; de aquí que se le denomine “escala”. Valores más pequeños de
(β) conducen a unafigura más simétrica y concentrada, con un pico de densidad de probabilidad más
elevado.
Una forma de interpretar (β) es “tiempo promedio entre ocurrencia de un suceso”. Relacionándose con el
parámetro de la Poisson como β=1/λ. Alternativamente λ será el ratio de ocurrencia: λ=1/β.
La expresión
también será necesaria más adelante para poder llevar a cabo el desarrollo matemático.
Relacióncon otras distribuciones
Si se tiene un parámetro α de valores elevados y β pequeña, entonces la función Gamma converge con la
distribución normal. De media
, y varianza
.
Cuando
yβ
la distribución Gamma es exactamente la distribución exponencial con parámetro
(α=1).
Cuando la proporción entre parámetros es
entonces la variable aleatoria se distribuye como
una Chi-cuadrado con grados delibertad.
Si α=1, entonces se tiene la distribución exponencial negativa de parámetro λ=1/β.
Ventajas
De esta forma, la distribución Gamma es una distribución flexible para modelizar las formas de la asimetría
positiva, de las más concentradas y puntiagudas, a las más dispersas y achatadas. Como ejemplos de
variables que se comportan así:
- Número de individuos involucrados en accidentes detráfico en el área urbana: es más habitual que la
mayoría de partes abiertos den la proporción de 1 herido por vehículo, que otras proporciones superiores.
- Altura a la que se inician las precipitaciones; sucede de forma más habitual precipitaciones iniciadas a una
altura baja, que iniciadas a gran altitud.
- Tiempo o espacio necesarios para observar X sucesos que siguen una distribución dePoisson.
- Distribución de la finura de fibras de lana: la mayoría presentan una menor finura que unas pocas fibras
más gruesas.
Inconvenientes
Problemas en la complejidad de algunos cálculos, especialmente respecto a la función Gamma cuando el
parámetro α es un valor no entero. También problemas de cálculo en la estimación de los parámetros
muestrales. Ambos inconvenientes se pueden abordarsatisfactoriamente con ordenador.

Para valorar la evolución de la distribución al variar los parámetros se tienen los siguientes gráficos. Primero
se comprueba que para α=1 la distribución tiene similitudes con la exponencial.

α=1
β =1

α=1
β =5

α=1
β =10

Si ahora se hace variar el parámetro alfa,

α=2
β =1

α=3
β =2

α=4
β =3

Y para valores altos de α y pequeños...