ProblemarioVARCOMP

PROBLEMARIO DE VARIABLE COMPLEJA Y ANÁLISIS DE FOURIER.
1. Sean z1  2  i , z 2  4  5i , z 3  3  2i y z 4  1  3i . Realice las siguientes
operaciones empleando la representación cartesiana.
a) z1 z 2  z 3

b) ( z 1  z 2 )( z 3  z 4 )

 (1  3i ) z 

z 

f) Re  4   i Im z1 z 2 
 z3 

2
e) Im 

iz

2
z
1 
 3

z z 
d)  2 3 
 z1 z 4 

 z z 
c) Re  1 4 
 z2  z3

1

h) z1 z 2  z 3 z 4

2. Calcule las siguientes operaciones.
a) 𝑖 2015

b) 𝑖 1000000
1

3. a) Si 𝑧 = − 2 +

√5
𝑖,
2
1

b) Para 𝑧 = − 2 +

c) (𝑖 85 + 𝑖 −28 )(𝑖 64 + 𝑖 −37 )

pruebe que se cumple: 1 + 𝑧 + 𝑧 2 = 0

√3
𝑖
2

𝑖 117 +𝑖 −73

d) 𝑖 60 −𝑖 −129
y

1
𝑧

= 𝑧2.

pruebe que: |𝑧| = 1, 𝑧 2 = 𝑧̅, 𝑧 3 = 1 𝑦 𝑐𝑎𝑙𝑐𝑢𝑙𝑒 𝑧 3002 .

4. Calcule el valor de 𝑦 para que el producto de (3 − 6𝑖)(4 + 𝑦𝑖)sea:
a) un imaginario puro

b) un real

5. Determine el valor de 𝑥:
a) para que el número 𝑥 + 3𝑖 tenga el mismo módulo que 2√5 + √5𝑖.
𝑥+2+𝑥𝑖
b) para que 𝑥+𝑖 sea imaginario puro.
6. Si 𝑧 =

1+𝑥𝑖
𝑥+𝑖

pruebe que |𝑧| = 1, usando dos procedimientos distintos.

7. Pruebe que si la suma de dos números complejos dividido por su diferencia es
un número imaginario puro, entonces tienen el mismo módulo.
8.Si 𝑧, 𝑤 ∈ ℂ, pruebe las siguientes relaciones.
a) |𝑧 + 𝑤|2 + |𝑧 − 𝑤|2 = 2(|𝑧|2 + |𝑤|2 )
b) |1 + 𝑧𝑤
̅|2 − |𝑧 − 𝑤|2 = (1 + |𝑧𝑤|)2 − (|𝑧|2 + |𝑤|2 )

1

9. Halle la solución de las siguientes ecuaciones de primer grado.
a) (3  2i ) z  ( 2  i )  4  i

b) ( 1  2i ) z  (3  i )  (6  5i )  ( 2  i ) z

c) ( 4  3i ) z  ( 2  5i )   (1  2i ) z  ( 6  i )   0

( 7  3i ) z  ( 2  5 i)

d)

( 4  i ) z  ( 8  3i )

 1  2i

10. Use la representación polar para realizar las siguientes operaciones y exprese
el resultado en la forma cartesiana.
Sean a  3  2i, b  1  3i, z  6  5i, w  7  i .
5

a) a b

4

b)

az
bw

 w3 
c)  4 
z 

1

d)

w4z3

e)

a 5b 4

a4w2
b3z4

11. Halle dos números complejos cuyo cociente sea 3, la suma de sus argumentos
𝜋
y la suma de susmódulos sea 8.
3
12. El producto de dos números complejos es 2𝑖 y el cubo de uno de ellos dividido
1
por el otro es 2, encuentre dichos números.
13. Emplear el teorema de De Moivre para deducir las siguientes identidades.
a) cos 3  cos 3   3sen 2 cos 
sen 3  3 cos 2  sen   sen 3
b) cos 4  cos 4   6 cos 2  sen 2  sen 4
sen 4  4 cos 3  sen   4 sen 3 cos 
1

𝜋

14. Si sin𝜃 = 2 , 0 < 𝜃 < 2 , aplique los resultados del ejercicio 13 para hallar los
valores de:
a) cos 3𝜃 𝑦 sen 3𝜃
15.

b) cos 4𝜃 𝑦 sen 4𝜃
1 z  z  z   z 
2

Si 𝑧 ∈ ℂ, 𝑧 ≠ 1, deduzca la fórmula

3

n

1  z n 1
1 z

.

(Ésta

fórmula fue hallada por vez primera por un niño alemán en el siglo XVIII).

16. Aplique la fórmula del ejercicio 15 y el teorema de De Moivre para probar que:
1  cos  cos 2  cos 3    cos n  

sen

1

2

  sen ( n 
2 sen 1 2 

1

2

)

2

cos

sen   sen 2  sen 3    sen n  

1

2

  cos( n 
2 sen 1 2 

1

2

)

Sugerencia: haga z  cos   isen 

17. Calcule las raíces mostradas a continuación.
a)

6

1

b)

4

i

c)

5

 32

d)

7

3

8  6i

3+3𝑖

e) √−3+3𝑖

4

𝑖 35 −𝑖 18

f) √

1+𝑖

18. Si z k es una raíz enésima de la unidad,diferente a la unidad misma, es decir,
2
3
n 1
z k  1 , probar que se cumple 1  z k  z k  z k    z k  0

Sugerencia: use la fórmula del ejercicio 15.
19. Si 𝑧0 , 𝑧1 , ⋯ , 𝑧𝑛−1 son las raíces n-ésimas de la unidad pruebe que su producto
es igual a 1 o -1.

20. Pruebe que:
1+cos 𝜃+𝑖 sen 𝜃 𝑛

a) ( 1+cos 𝜃−𝑖 sen 𝜃 ) = 𝑒 𝑖𝑛𝜃 , 𝑛 ∈ ℕ
1

1

b) Si 𝑧 + 𝑧 = 2 cos 𝑡 , 𝑡 ∈ 𝑦 𝑧 ∈ ℂ, entonces 𝑧 𝑛 + 𝑧 𝑛= 2 cos 𝑛𝑡 , 𝑛 ∈ ℕ.
21. Si 𝑧, 𝑤 ∈ ℂ son raíces sextas de 1, pruebe que también son raíces sextas de 1:
a) 𝑧𝑤

𝑧

b) 𝑤

c) 𝑧 2

𝑧3

d) 𝑤3

22. a) ¿Pueden ser 𝑧1 = 2 + 𝑖, 𝑧2 = −2 + 𝑖, 𝑧3 = −1 − 2𝑖, 𝑧4 = 1 − 2𝑖 las raíces de
un número complejo? Justifique su respuesta.
b) Si la ecuación 2𝑧 3 − 5𝑧 2 + 16𝑧 − 1 = 0 tiene tres raíces distintas entre sí,
¿pueden ser imaginarias las tres? Justifique su...