ProblemarioySolucion

´
INSTITUTO POLITECNICO
NACIONAL
ESIME, ZACATENCO
´
ACADEMIA DE MATEMATICAS,
ICE

´
PROBLEMARIO CON SOLUCION
DE

´
FUNDAMENTOS DE ALGEBRA
POR:

´
VEGA RAMIREZ
GUILLERMO
´ NEZ
˜
IBA
SANDOVAL ARACELI

´
Indice
´
1. NUMEROS
COMPLEJOS

3

2.

7

SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

3. MATRICES Y DETERMINANTES

10

4.

VECTORES

14

5.

´ A ESPACIOS VECTORIALES Y TRANSFORMACIONES LINEALES
INTRODUCCION18

2

1.

´
NUMEROS
COMPLEJOS

b)
(2 + i)2
3 − 4i
Soluci´on.
1

1. Resuelva las siguientes operaciones

4. Encuentre el modulo de
i(2 + 3i)(5 − 2i)(2 − 3i)2
(−2 − 2i)(8 + 6i)2

a)
[(2, 3) − (4, 2)] (1, −3)
Soluci´on.

Soluci´on.

(1, 7)

0,892419

b)
(2, 3)

1 −2
,
5 5

5. Obtenga el m´odulo y argumento de los siguientes n´umeros complejos y representelos
en el plano complejo
√
a) z = 1 + 3i

+(4, 2)

Soluci´on.
28 9
,
5 5

Soluci´on.
2. Resuelva las siguientes operaciones
|z| = 2;

a)
(4, 1)
(2, 5)

θ=

b) z = 1 −

Soluci´on.

π
rad
3

√
3i

Soluci´on.
13 −18
,
29 29

|z| = 2;;

b)

θ=

5π
rad
3

c) z = −2 + 6i

(1 + 3i)
(3 − 5i)(6 + i) +
(−5 + 2i)

Soluci´on.

Soluci´on.
|z| =

668 800
−
i
29
29

√

40;

θ = 1,89254 rad

d) z = −2 − 6i

3. Resuelva las siguientes operacionesSoluci´on.
a)
1 + 2i 2 − i
+
3 − 4i
5i
Soluci´on.

|z| =

−2
5

√

40;

θ = 4,39063 rad

6. Exprese en forma polar y en forma exponencial:
3

a) z = 1 +

√
3i

7. Escriba en forma rectangular y polar a los
n´umeros complejos:

Soluci´on.
a) z =

Forma polar:
π
π
+ i sen
3
3
Forma exponencial:
z = 2 cos

e

3+(π/3)i

Soluci´on.
Forma rectangular:

2e

(π/3)i

b) z = 1 −

√

z = 10,04276 + 17,39458i
3i
Formapolar:

Soluci´on.
z = e3 cos
Forma polar:

π
π
+ i sen
3
3

π

z = 2 cos

5π
3

+ i sen

b) z = 4e 6 i

5π
3

Soluci´on.

Forma exponencial:
2e(5π/3)i

Forma rectangular:

c) z = −2 + 6i

z = 3,4641 + 2i
Forma polar:

Soluci´on.

z = 4 cos

Forma polar:
√
z = 40 [cos (1, 89254) + i sen (1,89254)]

π
π
+ i sen
6
6

8. Exprese en forma rectangular y en forma exponencial:

Forma exponencial:
√40e(1,89254)i

a) z1 = 5 cos

d) z = −2 − 6i

π
π
+ i sen
4
4

Soluci´on.
Soluci´on.
Forma rectangular:
Forma polar:
√
z = 40 [cos (4, 39063) + i sen (4, 39063)]

z = 3,5355 + 3,5355i
Forma exponencial:

Forma exponencial:
√
40e(4,39063)i

e

z=5
4

(π/4)i

b) z2 = 4(cos(200o ) + isen(200o ))

12. Use la f´ormula de De Moivre para demostrar:
cos(3θ) = cos3 (θ) − 3cos(θ)sen2 (θ)
sen(3θ) = 3cos2(θ)sen(θ) − sen3 (θ)

Soluci´on.
Forma rectangular:

Soluci´on.
z = 3,75877 − 1,36808i
Consideremos el n´umero

Forma exponencial:

e

(200o )i

z=4

z = cos θ + i sen θ.

c) z3 = 5(cos(−60o ) + isen(−60o ))

Usando la formula de De Moivre:

Soluci´on.
z 3 = (cos θ + i sen θ)3 = cos(3θ) + i sen(3θ)
(1)

Forma rectangular:

Por otro lado: se desarrolla algebraicamente:

z = 2,5 − 4,33i

z 3 = (cos θ + i senθ)3

Forma exponencial:

e

z=5

(−60o )i

(2)

Comparando la parte real y la parte imaginaria
de las ecuaciones (1) y (2) se sigue que:

9. Calcule
cos(3θ) = cos3 (θ) − 3cos(θ)sen2 (θ)
sen(3θ) = 3cos2 (θ)sen(θ) − sen3 (θ)

(1 + 2i)6 (2 + 3i)8
Soluci´on.
−1284602,998 + 3331264,806i
10. Encuentre el conjugado complejo de:
√
( 3 − i)10
√
( 3 + i)5

13. Halle las raices c´ubicas del n´umerocomplejo:
w = 3 + 3i.
Soluci´on.

Soluci´on.
32i

r=

11. Encuentre la parte real y la parte imaginaria
de:
√
( 3 − i)8 (1 + i)12
√
Z=
( 3 + i)10

√

√
π
18 = 3 2; θ =
4

n = 3; k = 0, 1, 2
Si k = 0:

Soluci´on.

z0 ≈ 1.5637 + i 0.4189
= 16 + 0i
5

16. Resuelva Z 2 + iZ + 2 = 0

Si k = 1:
z1 ≈ −1.1447 + i 1.1447

Soluci´
on.
 i
z=
 −2i

Si k = 2:
z2 ≈ −0.4189 − i 1.5637

17. Resuelva 2Z 2 + 4Z − 4 −2i = 0
14. Halle las √
raices cuartas del n´umero complejo:
w = 1 + 3i.

Soluci´
on.
 0,75530 + i 0,28484
z≈
 −2,75530 − i 0,28484

Soluci´on.

18. Sea

π
r = 2; θ =
3

f (z) =
n = 4; k = 0, 1, 2, 3

1
z

Encuantre el dominio , la parte real y la parte
imaginaria de f (z).

Si k = 0:
z0 ≈ 1.14868 + i 0.30778

Soluci´on.

Si k = 1:

Dominio de f = C − (0, 0)

z1 ≈ −0.30778 + i1.14868

Re f...