Problemas analisis vectorial

Problemas del capítulo 1.
Problema: O Muestre que para cualquier vector A  a 1 î  a 2 *  a 3 k se cumple que: a. b. c. O k O i O j * O k O i O i O j O k A A A  a 2 *, O  a 3 k, O  a2 i ,

no aplique la definicion del determinante, usar las propiedades del producto vectorial Solución: a . Aplicando las propiedades del producto vectorial, tenemos O O O O O O O k j i A  k j i a1î  a2* a3 k O O O O O O  k j i a1î  i a2*  i a3 k O O O O  k j a2 k a3 j O O O O  k j a2 k  * a3 j O O  a2 k i O  a2 j . En forma análoga para los incisos b y c .

Problema. Siendo el vector de posición a de un punto dado x 0 , y 0 , z 0 y r el vector de posición de un punto cualquiera x, y, z , hallar el lugar geométrico de r si: a. b. Solución: a Sean los vectores a  x0, y0, z0 r  x, y, zentonces, r x x0 x x0, y y0, z a a 0 z0  x0, y0, z0  0 y0  z0 z z0  0 r r a a 0 a r 0

x0  y0 y

si hacemos d  x 2  y 2  z 2 , la ecuación anterior se puede escribir de la forma, 0 0 0 x0x  y0y  z0z  d que es la ecuación de un plano que pasa por un extremo del vector a y es perpendicular al vector a. En forma análoga al inciso a , tenemos r xx x0  y y a r 0 y0  z z xx 0 z0 0

x2  y2  z2 0 0 0 y0 2

yy 0 zz 0  0

completando cuadrados en la expresión anterior, obtenemos x x0 2
2

 y

2

 z

z0 2

2

 1 x2  y2  z2 0 0 4 0
x0 2

que es la ecuación de una esfera con centro en el punto r  1 x2  y2  z2 . 0 0 0 2

,

y0 2

,

z0 2

y radio

Problema. Escriba un vector de magnitud 5, paralelo al plano 3x  4y  5z  10 yperpendicular al vector O O O i  2 j  2k Solución: O O O Se pide un vector de la forma C  C 1 i  C 2 j  C 3 k que sea paralelo al plano O O O 3x  4y  5z  10 y perpendicular al vector A  i  2 j  2 k, es decir, que cumpla las siguientes condiciones: C  A  0, C  N  0, O O O donde N  3 i  4 j  5 k, es el vector normal al plano. Calculando los productos escalares, las condicionesanteriores se pueden escribir de la forma, c 1  2c 2  2c 3  0, 3c 1  4c 2  5c 3  0, resolviendo simultáneamente las ecuaciones anteriores obtenemos, c 1  2c 2 , c 3  2c 2, por lo tanto, el vector C será de la forma, O O C  2c 2 i  c 2 j O 2c 2 k

y aplicando la condición de que el vector debe ser de magnitud 5, tenemos 5  4c 2  c 2  4c 2 2 2 2 9c 2 2

 3c 2 , de donde, c2  finalmente,el vector pedido es de la forma, C 5 2O  O i j 3 O 2k . 5, 3

Problema. Demostrar que el segmento que une los puntos medios de los lados de un triángulo es paralelo al tecer lado y tiene la mitad de su longitud. Solución: Consideremos el siguiente triángulo de la figura, obtenemos AB  X AC  Y BC  Y por hipótesis tenemos que, PB  1 X 2 BQ  1 Y 2 por lo tanto, PQ  PB  BQ  1 Y, 2 de dondese deduce que PQ es paralelo a y y tiene
1 2

X,

X ,

de su longitud.

Problema. Las ecuaciones paramétricas de una recta son: x  3t  1, y  2t  4, zt 3, encuentre la ecuación del plano que contiene a dicha recta. Solución: Las ecuaciones paramétricas de la recta dada son equivalentes a la ecuación vectorial de la forma, r t  1, 4, 3  t 3, 2, 1 , que por definición es la ecuaciónde una recta en forma paramétrica que pasa por un punto cuyo vector de posición está dado por r 0  1, 4, 3 y es paralela al vector A  3, 2, 1 . Si hacemos r 0 A  N que es un vector perpendicular al vector A y también perpendicular a r 0 , entonces, la ecuacion del plano pedida sera de la forma ax  by  cz  d, donde d  r 0  N, y O O O N  a i  b j  c k, es decir, O O i j N 1 3 asimismo,d  N  r0 O O  2 i 10 j  2 por lo tanto, la ecuación del plano será de la forma 2x 10y 14z  0, x  5y  7z  0 O O O 14 k  i  4 j O 3k 4 2 O k 3 1 O  2i O 10 j O 14 k

40  42  0,

Problema. Determine las ecuaciones de la linea recta (en forma paramétrica y no paramétrica) que pasa por el punto 3, 2, 4 , paralela a la línea de intersección de los planos x  3y x Solución: De las...