problemas de optimizacion

UCSC

Departamento de Ingenier´ Industrial
ıa

Facultad de Ingenier´
ıa

1

Problemas Programaci´n No-Lineal
o
Semestre Primavera-2013

1) Suponga que el m´todo delm´ximo descenso (con b´squeda lineal exacta) se utiliza para minimizar la
e
a
u
funci´n cuadr´tica f (x) = 1 xt Qx − ct x, donde Q es una matriz definida positiva (d.p.). Muestre que:o
a
2
t

fk −

fk+1 =
donde

fk =

fk fk
Q fk
k Q fk

tf

f (xk ), etc.

2) Considere el problema min f (x1 , x2 ) = x2 + 2x2 .
1
2
a) Si el punto de partidaes x0 = (2, 1)t , muestre que la sucesi´n de puntos generados mediante m´ximo
o
a
descenso, est´ dada por: xk = ( 1 )k (2, (−1)k )t , usando b´squeda lineal exacta.
a
u
3
b)Muestre que f (xk+1 ) =

f (xk )
.
9

3) Considere la funci´n no lineal:
o
f (x, y) = x2 + y 2 + xy − 3x − 6y + 1
a) Utilizar el m´todo de m´ximo descenso con paso exacto.Considere el punto inicial x0 = (0 1)
e
a
b) Considere ahora la direcci´n dk = −[
o
inicial.

2

f (xk )]−1 f (xk ) con paso constante αk = 1 e igual punto

1
e
4) Considere f: I n → I definida por f (x) = x t Q x − b t x siendo Q sim´trica y definida positiva. Para el
R
R
2
problema
1
(P )
min F (x) = || f (x)||2
2
se pide:
a) Determinar unaexpresi´n general para el m´todo de m´ximo descenso con paso exacto, aplicado a la
o
e
a
funci´n F.
o
5) Para la funci´n definida por:
o
f (x1 x2 ) = x1 x2 exp(x1 + 2x2 )
se pidea) Determinar sus puntos cr´
ıticos y clasificarlos como m´
ınimos, m´ximos o puntos de silla.
a
b) Para el problema min f (x1 x2 ) aplicar:
i) M´ximo descenso con paso constanteαk = 1 y punto inicial x0 = (−0.5 − 1)
a
ii) Considerar direcci´n de b´squeda dk = −[
o
u
inicial x0 = (−1 − 1)

2

f (xk )]−1 f (xk ) con paso constante αk = 1 y punto