Problemas de razon de cambio

MATE3031 Cálculo I Dr. Freddie Santiago 29 de septiembre de 2005 RAZON DE CAMBIO (con respuestas aproximadas) FAVOR DE REPORTAR CUALQUIER ERROR A: santiago@math.uprm.edu

1. Al estudiar la población mundial entre los años 1950 y 2000, se encuentra que la población mundial aproximadamente satisface la función:

P (t ) = 2.5565e 0.0173514t , t ≥ 0 ,
en donde la variable t representa añosdesde el 1950 (o sea, t = 0 en el 1950, t = 50 en el 2000, t = 100 en el 2050) y la variable P representa población mundial en miles de millones (o sea, P = 5 significa 5,000,000,000 personas). Usar esta función para calcular lo siguiente: a. La población mundial en los años 1950, 2000 y 2050. b. ¿En qué año llega a 10 mil millones la población mundial? c. La razón de crecimiento de la poblaciónmundial como función de tiempo.

d. La razón de crecimiento de la población mundial en los años 1950, 2000, 2050. e. ¿En qué año llega a 75 millones el crecimiento annual de la población mundial? f. ¿A qué valor se acerca la población cuando t → ∞ ?

SOLUCION a.

P (0) = 2.5565e 0.0173514(0) = 2.5565 → 2,556,500,000 personas en el año 1950. P (50) = 2.5565e 0.0173514(50) = 6.08733 →6,087,330,000 personas en el año 2000. P (100) = 2.5565e 0.0173514(100) = 14.4946 → 14, 494,600, 000 personas en el año 2050.

b. Se resuelve la ecuación: P (t ) = 10 ⇒ 2.5565e 0.0173514t = 10 ⇒ t ≈ 78.6 , que corresponde al año 2028.

c.

Razón de crecimiento: DERIVADA.

P ′(t ) = 2.5565e 0.0173514t (0.0173514) ≈ 0.0443589e 0.0173514t P ′(t ) ≈ 0.0443589e 0.0173514t

d.

P ′(0) ≈ 0.0443589e0.0173514(0) ≈ 0.0443589 → 44,358,900 personas por año en el 1950. P ′(50) ≈ 0.0443589e 0.0173514(50) ≈ 0.105624 → 105,624,000 personas por año en el 2000. P ′(100) ≈ 0.0443589e 0.0173514(100) ≈ 0.251502 → 251,502,000 personas por año en el 2050.

e. Como 75 millones = 0.075 mil millones, se resuelve la ecuación P ′(t ) = 0.075 ⇒ 0.0443589e 0.0173514t = 0.075 ⇒ t ≈ 30.3 , que corresponde al año1980.

f.

t →∞

lim P (t ) = lim 2.5565e 0.0173514t = ∞ . En este modelo, la población sigue creciendo hacia el infinito.
t →∞

2. Un modelo más sofisticado que el anterior para la población mundial es dado por esta función:

P (t ) =

11.1085 , t ≥0 1 + 3.34516e -0.0279592t

Repetir los cómputos anteriores con esta función.

SOLUCION a.

P (0) ≈

11.1085 ≈ 2.55652 →2,556,520,000 personas en el año 1950. 1 + 3.34516e -0.0279592(0) 11.1085 ≈ 6.08155 → 6,081,550,000 personas en el año 2000. 1 + 3.34516e -0.0279592(50) 11.1085 ≈ 9.22441 → 9,224,410,000 personas en el año 2050. 1 + 3.34516e -0.0279592(100)

P (50) ≈

P (100) ≈

b. Se resuelve la ecuación: P (t ) = 10 ⇒ t ≈ 121.9 , que corresponde al año 2071, casi 2072.

c.

Razón de crecimiento: DERIVADA

P(t ) =

P (t ) = 11.1085 (1 + 3.34516e -0.0279592t )

11.1085 1 + 3.34516e -0.0279592t

−1

P ′(t ) = 11.1085 ⋅ (−1) (1 + 3.34516e -0.0279592t ) P ′(t ) =

−2

( 3.34516e

-0.0279592t

(-0.0279592 ) )

(1 + 3.34516e

1.03896e -0.0279592t
-0.0279592t

)

2

d.

P ′(0) =

(1 + 3.34516e

1.03896e -0.0279592(0)
-0.0279592(0)

)

2

≈ 0.0550282 → 55,028,200personas por año en el 1950.

P ′(50) =

(1 + 3.34516e

1.03896e -0.0279592(50)
-0.0279592(50)

)

2

≈ 0.0769464 → 76,946,400 personas por año en el 2000.

P ′(100) =

(1 + 3.34516e

1.03896e -0.0279592(100)
-0.0279592(100)

)

2

≈ 0.0437432 → 43,743,200 personas por año en el 2050.

e. Como 75 millones = 0.075 mil millones, se resuelve la ecuación P ′(t ) = 0.075 ⇒ t ≈29.8 y t ≈ 56.5 , que corresponden a los años 1979 y 2006.

f.

11.1085 11.1085   lim P (t ) = lim  = = 11.1085 → 11,108,500,000 . En este modelo, la t →∞ 1 + 3.34516e -0.0279592t  1 + 3.34516(0)   población no va al infinito, crece hacia un límite de 11,108,500,000 personas.
t →∞

3. La masa (en miligramos) de una muestra de una sustancia radioactiva después de t años es dada...