problemas

IV. LOS CUATRO
´
PILARES DEL ANALISIS
FUNCIONAL

El sugestivo t´ıtulo que proponemos para este cap´ıtulo, y utilizado por varios autores, quiere indicar que toda la estructura
del An´alisis Funcional est´a basada en cuatro poderosos pilares:
los teoremas de Hahn-Banach, de Banach-Steinhaus, de la aplicaci´on abierta y del gr´afico cerrado. Tanto en este cap´ıtulo como
en los siguientes seofrece una amplia gama de aplicaciones y
consecuencias que han permitido un desarrollo significativo en la
teor´ıa que nos ocupa.

SECCIONES
1. Teorema de Hahn-Banach.
2. Consecuencias del teorema de Hahn-Banach. Espacio doble dual.
3. Teorema de categor´ıa de Baire.
4. Principio de acotaci´on uniforme y teorema de Banach-Steinhaus.
5. Convergencia de sucesiones en espacios normados.
6.Teorema de la aplicaci´on abierta.
7. Teorema del gr´afico cerrado.
8. Clausura de un operador.
9. Ejercicios.

153

1. TEOREMA DE HAHN-BANACH.

El teorema de Hahn-Banach es un teorema de extensi´on de funcionales lineales (entendemos por un teorema de extensi´on aquel en donde, definido un
objeto matem´atico sobre un subconjunto Y ⊂ X, se quiere definir dicho objeto sobre todo elconjunto X de manera que se mantengan las propiedades
b´asicas del objeto en el conjunto donde se extendi´o).
En An´alisis son frecuentes los casos en que un funcional lineal es dominado
por un funcional sublineal convexo. Por ejemplo, la integral de Riemann de
1
una funci´on x = x(t) es un funcional lineal f (x) = 0 x(t)dt; en cambio, la
integral superior p(x) es sub-lineal y se tiene que f (x)≤ p(x). Queremos
extender tambi´en aqu´ı un funcional lineal que verifique una propiedad de
acotaci´on similar. Por el teorema de representaci´on de Riesz, sabemos que
todo funcional lineal en un espacio de Hilbert es un producto escalar. Queremos saber ahora bajo qu´e condiciones existen funcionales lineales acotados
en un espacio de Banach arbitrario y la respuesta a esto la da el teoremade
Hahn-Banach.
Se probar´a primero el caso donde el espacio normado es real (resultado debido a Hahn en 1927 y Banach en 1929) y luego veremos c´omo ciertas modificaciones permiten demostrar el caso complejo (que fue hecho por Bohnenblust
y Sobczyk en 1938).
1.1.- Definici´
on. Sean X un espacio vectorial sobre E y p : X → R un
funcional. Diremos que
(1) p es sub-aditiva cuando p(x + y) ≤p(x) + p(y), ∀x, y ∈ X;
(2) p es homog´enea positiva cuando p(αx) = αp(x), ∀x ∈ X, α ≥ 0;
(3) p es sim´etrica cuando p(αx) = |α|p(x), ∀x ∈ X, α ∈ E;
(4) p es convexa cuando p(αx + (1 − α)y) ≤ αp(x) + (1 − α)p(y), ∀x, y ∈ X,
α ∈ [0, 1].
As´ı diremos que p es funcional sublineal si es sub-aditiva y homog´enea positiva y p es seminorma si es sub-aditiva y sim´etrica.
En particular, la norma esun funcional sublineal e incluso una seminorma.
Una primera relaci´on entre dichos conceptos viene dada en el siguiente resultado, cuya demostraci´on omitimos.
1.2.- Lema. Un funcional p : X → E en un espacio vectorial es una seminorma si y s´
olo si es una aplicaci´
on sim´etrica y convexa.
154

1.3.- Lema. Sea X un espacio vectorial real, M un subespacio propio de
X, x0 ∈ X \ M . Sea N =M ∪ {x0 } , f : M → R un funcional lineal,
p : X → R un funcional sub-lineal tal que f (x) ≤ p(x), ∀x ∈ M. Entonces
existe F : N → R funcional lineal tal que F (x) ≤ p(x), ∀x ∈ N , y f (x) =
F (x), ∀x ∈ M (F es entonces una extensi´
on de f ).
Demostraci´
on. Si y1 , y2 ∈ M, entonces
f (y1 )−f (y2 ) = f (y1 −y2 ) ≤ p(y1 −y2 ) = p(y1 +x0 −x0 −y2 ) ≤ p(y1 +x0 )+p(−y2 −x0 ),
de donde −p(−y2− x0 ) − f (y2 ) ≤ p(y1 + x0 ) − f (y1 ).
Como el primer miembro no depende de y1 y el segundo no depende de y2 ,
entonces, llamando
a = sup{−p(−y2 − x0 ) − f (y2 ) : y2 ∈ M },
b = ´ınf{p(y1 + x0 ) − f (y1 ) : y1 ∈ M },
es claro que a ≤ b.
Llamamos c ∈ R a un n´
umero que verifica a ≤ c ≤ b. Por tanto, ∀y ∈
M,
(∗)

−p(−y − x0 ) − f (y) ≤ c ≤ p(y + x0 ) − f (y).

Definimos F : N → R...