ProblemasTema4 CII

´
PROBLEMAS DE CALCULO
II
o
1 Ings. Industrial y de Telecomunicaci´on
CURSO 2009–2010

a t e
a’ t i
c a s

4

Integrales de l´ınea y de superficie

4.1

Integrales sobre curvas y campos conservativos.

Problema 4.1 Integra
i) f (x, y) = 2xy 2 sobre el primer cuadrante de la circunferencia de radio R.
ii) f (x, y, z) = (x2 + y 2 + z 2 )2 a lo largo del arco de h´elice circular r(t) = (cos t, sent, 3t),
desde el punto (1, 0, 0) hasta el punto (1, 0, 6π).
√
Soluci´
on: i) 2R4 /3; ii) 2π 10(5 + 120π 2 + 1296π 5 )/5.
Problema 4.2 Determina la longitud y la masa de un hilo cuya forma es el arco de par´abola
y = x2 desde (0, 0) hasta (2, 4) y cuya densidad es ρ(x, y) = x.
Soluci´
on: La longitud es

√

17 + (log(4 +

√

17))/4 y la masa es (173/2 − 1)/12.

Problema 4.3 En los ejercicios quesiguen, calcula la integral de l´ınea del campo vectorial f
a lo largo del camino que se indica:
i) f (x, y) = (x2 − 2xy, y 2 − 2xy), a lo largo de la par´abola y = x2 desde (−1, 1) a (1, 1),

ii) f (x, y) = (x2 + y 2 , x2 − y 2 ), a lo largo de la curva y = 1 − |1 − x|,desde (0, 0) a (2, 0),

iii) f (x, y, z) = (y 2 − z 2 , 2yz, −x2 ), a lo largo del camino descrito por r(t) = (t, t2 , t3 ), con
t ∈[0, 1],
iv) f (x, y, z) = (2xy, x2 + z, y), a lo largo del segmento que une (1, 0, 2) con (3, 4, 1)

Soluci´
on: i) − 14/15; ii) 4/3; iii) 1/35; iv) 40.
Problema 4.4 Se considera la funci´
on vectorial f (x, y) = (x2 , y). Calcula la integral de l´ınea
de f desde (1, 0) hasta (−1, 0) a lo largo de:
i) El segmento que une ambos puntos.
ii) Los dos recorridos posibles del rect´angulo [−1, 1] × [−1,1].

iii) La semicircunferencia superior que une ambos puntos.
Soluci´
on: 2/3 en todos los casos.
Problema 4.5 Calcula:
i)
g

(x − y)dx + (x + y)dy, siendo g el segmento que une (1,0) con (0,2).

ii)
C

x3 dy − y 3 dx, siendo C la circunferencia unidad.

25

dx + dy
, siendo Γ el cuadrado de v´ertices (1,0), (0,1), (−1, 0) y (0, −1), recorrido
|x|
+ |y|
Γ
en sentido contrario a las agujas delreloj.

iii)

iv)
ρ

(x + 2y)dx + (3x − y)dy siendo ρ la elipse de ecuaci´on x2 + 4y 2 = 4, recorrida en

sentido contrario a las agujas del reloj.
√
√
y 3 dx − xy 2 dy
2 , y = t 1 − t2 , −1 ≤ t ≤ 1.
,
siendo
R
la
curva
x
=
1
−
t
x5

v)
R

Soluci´
on: i)7/2; ii) 3π/2; iii) 0; iv) 2π; v) − π/2.
Problema 4.6 Calcula:
i)
γ

y dx − x dy + z dz, siendo γ la curva de intersecci´
on del cilindro x2 + y 2= a2 y el plano

z − y = a en sentido antihorario.
F, siendo F(x, y, z) = (2xy + z 2 , x2 , 2xz) y γ la intersecci´
on del plano x = y con la

ii)
γ

esfera x2 + y 2 + z 2 = a2 , recorrida en cualquiera de los dos sentidos.
F, siendo F(x, y, z) = (y, z, x) y γ la curva intersecci´
on de x2 + y 2 = 2x con x = z,

iii)
γ

recorrida en sentido positivo.
Soluci´
on: i) − 2πa2 ; ii) 0; iii) 0.
Problema4.7 Una part´ıcula de masa m se mueve desde t = 0 hasta t = 1 describiendo la
curva:
r(t) = (t2 , sen t, cos t), t ∈ [0, 1].
Halla la fuerza que act´
ua sobre la part´ıcula sabiendo que viene dada por la expresi´
on F(t) =
′′
mr (t) (segunda ley de Newton). Calcula tambi´en el trabajo total realizado por dicha fuerza.
Soluci´
on: F(t) = m(2, − sen t, − cos t). El trabajo es 2m.
Problema 4.8 Hallael valor de b > 0 que minimiza el trabajo producido al mover una part´ıcula
sometida al campo de fuerzas F(x, y) = (3y 2 + 2, 16x), desde (−1, 0) hasta (1, 0), a lo largo de
la semielipse b2 x2 + y 2 = b2 , y ≥ 0.
Soluci´
on: El trabajo m´ınimo es 4(1 − π 2 ), que se alcanza para b = π.
Problema 4.9 Considera el campo de fuerzas F(x, y) = (cxy, x6 y 2 ), a, b, c > 0. Calcula el
par´ametro a ent´erminos de c para que el trabajo producido al mover una part´ıcula a lo largo
de la par´abola y = axb desde x = 0 hasta x = 1 no dependa de b.
Soluci´
on: a =

3c/2 .

Problema 4.10 Calcula el trabajo producido al mover una part´ıcula sometida al campo de
fuerzas (en polares) F(r, θ) = (−4 sen θ, 4 sen θ), a lo largo de la curva r = e−θ desde el punto
(1,0) hasta el origen.
Soluci´
on: 8/5.
26...