Procesos Estoc´asticos Estacionarios

Cap´
ıtulo 2

Procesos Estoc´sticos Estacionarios
a
Las series temporales se pueden clasificar en dos tipos:
Series con valores estables alrededor de un nivel constante (cap´
ıtulos
2-4).
Series con tendencias, estacionalidad u otros efectos evolutivos en el
tiempo (cap´
ıtulo 5).
Ejemplo 12 Las series n´m. 1) y 2) pueden tener un nivel estable, la 3)
u
y la 4) seguro que no.
Nota 6La estabilidad depende del periodo de observaci´n. Por ejemplo,
o
en una serie anual de la temperatura media en un lugar, cuanto m´s a˜os
an
se observen, menos problable es que el nivel se mantenga constante.
Nota 7 Los valores sucesivos de una serie suelen ser dependientes, aunque
sea simplemente por inercia.
2.1.

Concepto de procesos estoc´sticos
a

Proceso estoc´stico: Conjunto dev.a. (Yt )t∈I , donde el ´
a
ındice t toma valores en un conjunto I . Llamamos trayectoria del proceso a una realizaci´n
o
del proceso estoc´stico. Si I es discreto, el proceso es en tiempo discreto.
a
Si I es continuo, el proceso es en tiempo continuo.
Ejemplo 13 Un ejemplo de proceso en tiempo discreto se obtiene para
I = {1, . . . , n}. En este caso, el proceso es Y1 , Y2 , . . . , Yn, y una trayectoria
se denota por y1 , y2 , . . . , yn .
Ejemplo 14 Un ejemplo de proceso en tiempo continuo se obtiene para
I = [0, T ], I = [0, ∞] ´ I = (−∞, ∞).
o
39

Serie temporal: Una serie temporal es una realizaci´n de un proceso
o
estoc´stico en tiempo discreto, donde los elementos de I est´n ordenados
a
a
y corresponden a instantes equidistantes del tiempo.
Si I = {1, . . ., n}, la serie es y1 , y2 , . . . , yn ;
Si I = N, la serie es y0 , y1 , y2 , . . . ,;
Si I = Z, entonces la serie es . . . , y−2 , y−1 , y0 , y1 , y2 . . ..
Una serie temporal describe la evoluci´n aleatoria de una variable en el
o
tiempo.
Ejemplo 15 Un ejemplo de un proceso con I no ordenado es un proceso
espacial, en el que I ⊆ R2 .
Nota 8 Otra clasificaci´n de los procesos esatendiendo a los valores que
o
toman las variables Yt . Si ´stas son discretas, el proceso se llama tambi´n
e
e
discreto. Si son continuas, el proceso es continuo.
En lo sucesivo, (Yt ) denotar´ un proceso en tiempo discreto con I = N
a
´ I = Z.
o
Distribuci´n n-dimensional de un proceso: Es la funci´n de distribuo
o
ci´n de un conjunto de n variables del proceso (Y1 , . . . , Yn ), es decir,o
F (y1 , . . . , yn ) = P (Y1 ≤ y1 , . . . , Yn ≤ yn ),

n ∈ N.

La distribuci´n de un proceso est´ caracterizada por el conjunto de todas
o
a
las distribuciones finito-dimensionales.
Ejemplo 16 Paseo aleatorio: Un paseo aleatorio est´ definido por
a
t

Yt =

aj ,

donde

j =1

aj ∼ iid N (0, σ 2 ).

Hemos generado seis trayectorias de tama˜o T = 300, y1 , . . . , y300 , deun
n
2
paseo aleatorio (Yt ) con σ = 1, y las hemos representado en la Figura 2.1.
(izquierda). Podemos ver que el gr´fico de las distintas trayectorias nos da
a
informaci´n sobre la distribuci´n de probabilidad del proceso.
o
o
Ejemplo 17 Proceso qu´
ımico: Medimos la concentraci´n de una suso
tancia cada minuto durante 5 horas. Repetimos esto en distintos d´as bajo
ı
las mismascondiciones para obtener informaci´n sobre la distribuci´n del
o
o
40

proceso:
Tenemos varias series de la forma y1 , . . . , y300 provenientes del mismo proceso, una para cada d´a.
ı
Sea Yt la distribuci´n de la concentraci´n en el minuto t-´simo. Se supone
o
o
e
que la distribuci´n de Yt es la misma cada d´a. Entonces, al aumentar el
o
ı
n´mero de d´as, la proporci´n con la que ytpertenece a un intervalo (a, b)
u
ı
o
converge a la probabilidad P (a < Yt < b). Es decir, obtenemos informaci´n
o
sobre la distribuci´n de Yt repitiendo el experimento.
o

30
20
0

−30

10

−20

−10

0

concentration [%]

10

40

20

50

30

Figura 2.1: Varias trayectorias de dos procesos
Proceso qu´
ımico
Paseo aleatorio

0

50

100

150

200

250...