Procesos estoc sticos Tercera entrega



1) Sea “X” una variable aleatoria continua con función de densidad normal N(µ,σ2), es decir X~N(µ,σ2).

a) Pruebe que la variable aleatoria

Tiene una función de densidad normal estándar, es decir Y~N(0,1).

Paso 1: Determinar la naturaleza de la transformación

“Y” es una variable aleatoria continua que es función de una variable aleatoria continua.

Paso 2: Verificación de condiciones“X” debe tener función de densidad mayor a cero en un intervalo (a,b)
Y= H(x) debe ser continua, derivable y estrictamente monótona.



Paso 3: Función de densidad de la transformación


Paso 4: Cálculo de la función inversa H-1(y)




Sustituyendo en la función de densidad de la transformación obtenemos que:



La distribución normal estándar es un caso particular de la distribución normal con media0 y varianza 1. Si sustituimos estos parámetros en la función de densidad de una distribución normal obtenemos que:



Nótese que la ecuación “2” la cual indica la función de densidad para una variable con distribución normal estándar, es igual a la función de densidad obtenida para la variable “Y” según lo indicado en la ecuación 1, por lo que queda demostrado que la variable “Y” sigue unadistribución de probabilidades Normal estándar.

b) Pruebe que la variable aleatoria W=Y2 tiene una función de densidad χ2 con un grado de libertad.

Solución: La función de densidad de la distribución “chi cuadrado” viene dada por:


“k” representa lo grados de libertad de la distribución y Γ(x) es la función gamma. Para una distribución “chi cuadrado de un grado de libertad, la función de densidadqueda como:



Por lo tanto:


Ahora bien, definimos la transformación. “W” es una variable aleatoria continua que es función de otra variable aleatoria continua, por lo tanto se tiene que:



La variable aleatoria W viene dada por:


Esta función es inyectiva para W>0. Por lo tanto bajo esta condición admite inversa. Entonces se tiene que:


Sustituyendo en la función de densidad de latransformación se tiene que




Nótese que lo obtenido mediante la transformación coincide con la función de densidad de una distribución chi cuadrado de 1 grado de libertad (ecuación 3) por lo que se concluye que W=Y2 sigue una distribución chi cuadrado de 1 grado de libertad.


Gráficamente se pueden observar las funciones de densidad para las tres distribuciones trabajadas en este caso de estudio.Figura 1: Función de densidad de una distribución normal. (La gráfica en verde representa una distribución normal estándar)

Figura 2: Función de densidad de una distribución chi-cuadrado para “k” diferentes grados de libertad


2) Sea “X” una variable aleatoria continua con función de densidad fx(X) e Y=X2.

a) Pruebe que


Solución: Por definición de la función de distribución se tiene que:Despejando X2 y agrupando se tiene que:


Esto por definición queda como:


Derivando la ecuación “5”, utilizando la regla de la cadena, para obtener la función de densidad, tenemos lo siguiente:


Factorizando y reagrupando obtenemos que:





b) Aplique el resultado anterior si:

Dado que Y=X2 es la función transformación, la función de densidad no es nula para un valor de “y” comprendidoentre 0 y 4 (Dado que la función de densidad de “x” es no nula en el intervalo (-2,2). Por lo tanto:



A continuación se muestra la gráfica de la función de densidad en cuestión


Figura 3: Función de densidad de probabilidades –caso de estudio.



3) La velocidad de una molécula en un gas uniforme en equilibrio es una variable aleatoria “V” con función de densidad dada porfV(v)=av2e-bv2u(v), con b=m/2kT, donde “k”, “T” y “m” denotan la constante de boltzman, la temperatura absoluta y la masa de la molécula respectivamente.

a) Calcule la constante “a” (en función de “b”)

Tenemos que la función de densidad de la variable aleatoria en cuestión está afectada por la función u(v) (función escalón unitario). Esta función puede escribirse de una manera equivalente:



Por...