Productos Notables
Páginas: 9 (2123 palabras)
Publicado: 18 de octubre de 2012
PRODUCTOS NOTABLES
INTRODUCCION
Se llama productos notables a ciertos productos que cumplen reglas fijas y cuyo resultado puede ser escrito por simple inspección, es decir sin verificar la multiplicación. Su aplicación simplifica y sistematiza la resolución de muchas multiplicaciones habituales.
Tanto en la multiplicación algebraica como en la aritmética se sigue un algoritmo cuyos pasosconducen al resultado. Sin embargo, existen productos algebraicos que responden a una regla cuya aplicación simplifica la obtención del resultado. Estos productos reciben el nombre de productos notables.
DESARROLLO
BINOMIO
El cuadrado de un binomio es igual al cuadrado del primer termino mas el doble del producto del primero por el segundo mas el segundo al cuadrado.
(a + b)2 = a2 + 2ab+ b2
Binomio al cubo
Cuando un binomio se multiplica por sí mismo tres veces se tiene lo que se conoce como un binomio al cubo. Si para un binomio cualquiera consideramos el primer término como a y el segundo término como b, entonces el binomio es a + b y también podemos expresar el binomio al cubo como (a + b) 3. Desarrollando la multiplicación se tiene:
(a + b)3 = (a + b)(a + b)(a + b)
(a+ b)3 = (a2 + ab + ba + b2)(a + b)
(a + b)3 = (a2 + 2ab + b2)(a + b)
(a + b)3 = (a2)(a) + (a2)(b) + (2ab)(a) + (2ab)(b) + (b2)(a) + (b2)(b)
(a + b)3 = a3 + a2b + 22b + 2ab2 + ab2 + b3
(a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3
Esta última expresión es una identidad que se cumple para cualquier binomio al cubo. Usando la identidad se puede obtener el resultado sin necesidad de realizar lamultiplicación. Solo hay que elevar al cubo el primer término del binomio, sumarle el triple del producto del cuadrado del primer término por el segundo, sumarle el triple del producto del primer término por el cuadrado del segundo y finalmente sumarle el cubo del segundo término.
BINOMIOS CONJUGADOS
El cuadrado del primer termino menos el cuadrado del segundo .
(a + b) (a – b) = a2 – b2
PRODUCTOS CONTERMINO COMUN
El producto de dos binomios que tienen un término común es un producto notable, porque el resultado cumple con ciertas reglas y puede obtenerse por simple inspección.
Sea el producto
(a+b)(a+c)
se observa que el término “a” es común a ambos factores.
Al realizar el producto se obtiene
(a+b)(a+c) = a2 +ac+ab+bc
lo que se puede expresar como
(a+b)(a+c) =a2+a(b+c)+bc
Entonces, “el producto de dos binomios que tienen un término común, es igual al cuadrado del término común (a2) más el producto del término común por la suma algebraica de los términos no comunes (a(b+c)) , más el producto de los términos no comunes (bc)”.
PRODUCTOS DE LA FORMA (ax+b) (cx+d)
Descripción Las ecuaciones de este tipo las podríamos representar de la siguiente forma: A ×B = 0; en el primer miembro hay dos elementos que se multiplican y el segundo miembro es cero. A y B representan cada uno un paréntesis que suele contener una expresión algebraica de primer grado y de una sola incógnita. Es decir, son de la forma “ax + b”: x es la incógnita; a y b son valores constantes. Podemos ampliar el contenido de esta descripción diciendo que también es válida sea cual sea elnúmero de factores que haya en el primer miembro. Así que lo que estudiemos a partir de ahora también podremos aplicarlo a ecuaciones con mayor número de factores en el primer miembro, es decir, con una estructura tipo: A × B × C = 0 o A × B × C × D = 0, etc. Trabajaremos con ejemplos de dos factores, con el fin de simplificar el estudio de este tipo de ecuaciones.
Resolución Para resolver este tipode ecuaciones vamos a hacer uso de las siguientes propiedades del álgebra: —si un producto de factores es cero, entonces, como mínimo, uno de ellos tiene que ser cero; —si uno de los factores de un producto es cero, entonces el producto es cero. A partir de estas propiedades podemos decir que si A × B = 0, entonces A = 0 o B = 0, y también, si A = 0 o B = 0, entonces A × B = 0. Resumiendo,...
INTRODUCCION
Se llama productos notables a ciertos productos que cumplen reglas fijas y cuyo resultado puede ser escrito por simple inspección, es decir sin verificar la multiplicación. Su aplicación simplifica y sistematiza la resolución de muchas multiplicaciones habituales.
Tanto en la multiplicación algebraica como en la aritmética se sigue un algoritmo cuyos pasosconducen al resultado. Sin embargo, existen productos algebraicos que responden a una regla cuya aplicación simplifica la obtención del resultado. Estos productos reciben el nombre de productos notables.
DESARROLLO
BINOMIO
El cuadrado de un binomio es igual al cuadrado del primer termino mas el doble del producto del primero por el segundo mas el segundo al cuadrado.
(a + b)2 = a2 + 2ab+ b2
Binomio al cubo
Cuando un binomio se multiplica por sí mismo tres veces se tiene lo que se conoce como un binomio al cubo. Si para un binomio cualquiera consideramos el primer término como a y el segundo término como b, entonces el binomio es a + b y también podemos expresar el binomio al cubo como (a + b) 3. Desarrollando la multiplicación se tiene:
(a + b)3 = (a + b)(a + b)(a + b)
(a+ b)3 = (a2 + ab + ba + b2)(a + b)
(a + b)3 = (a2 + 2ab + b2)(a + b)
(a + b)3 = (a2)(a) + (a2)(b) + (2ab)(a) + (2ab)(b) + (b2)(a) + (b2)(b)
(a + b)3 = a3 + a2b + 22b + 2ab2 + ab2 + b3
(a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3
Esta última expresión es una identidad que se cumple para cualquier binomio al cubo. Usando la identidad se puede obtener el resultado sin necesidad de realizar lamultiplicación. Solo hay que elevar al cubo el primer término del binomio, sumarle el triple del producto del cuadrado del primer término por el segundo, sumarle el triple del producto del primer término por el cuadrado del segundo y finalmente sumarle el cubo del segundo término.
BINOMIOS CONJUGADOS
El cuadrado del primer termino menos el cuadrado del segundo .
(a + b) (a – b) = a2 – b2
PRODUCTOS CONTERMINO COMUN
El producto de dos binomios que tienen un término común es un producto notable, porque el resultado cumple con ciertas reglas y puede obtenerse por simple inspección.
Sea el producto
(a+b)(a+c)
se observa que el término “a” es común a ambos factores.
Al realizar el producto se obtiene
(a+b)(a+c) = a2 +ac+ab+bc
lo que se puede expresar como
(a+b)(a+c) =a2+a(b+c)+bc
Entonces, “el producto de dos binomios que tienen un término común, es igual al cuadrado del término común (a2) más el producto del término común por la suma algebraica de los términos no comunes (a(b+c)) , más el producto de los términos no comunes (bc)”.
PRODUCTOS DE LA FORMA (ax+b) (cx+d)
Descripción Las ecuaciones de este tipo las podríamos representar de la siguiente forma: A ×B = 0; en el primer miembro hay dos elementos que se multiplican y el segundo miembro es cero. A y B representan cada uno un paréntesis que suele contener una expresión algebraica de primer grado y de una sola incógnita. Es decir, son de la forma “ax + b”: x es la incógnita; a y b son valores constantes. Podemos ampliar el contenido de esta descripción diciendo que también es válida sea cual sea elnúmero de factores que haya en el primer miembro. Así que lo que estudiemos a partir de ahora también podremos aplicarlo a ecuaciones con mayor número de factores en el primer miembro, es decir, con una estructura tipo: A × B × C = 0 o A × B × C × D = 0, etc. Trabajaremos con ejemplos de dos factores, con el fin de simplificar el estudio de este tipo de ecuaciones.
Resolución Para resolver este tipode ecuaciones vamos a hacer uso de las siguientes propiedades del álgebra: —si un producto de factores es cero, entonces, como mínimo, uno de ellos tiene que ser cero; —si uno de los factores de un producto es cero, entonces el producto es cero. A partir de estas propiedades podemos decir que si A × B = 0, entonces A = 0 o B = 0, y también, si A = 0 o B = 0, entonces A × B = 0. Resumiendo,...
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