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Existen dos situaciones en las cuales es imposible hallar el valor exacto de una integral definida.
La primera proviene del hecho de que para evaluar  aplicando la segunda parte del Teorema Fundamental del Cálculo se necesita conocer una primitiva f. Sin embargo en muchos casos hallar una primitiva es difícil o prácticamente imposible. Es imposible evaluar o bien
.
La segunda situaciónsurge cuando la función se determina a partir de una experiencia científica, la experiencia en un laboratorio, a través de lecturas de instrumentos o datos recogidos.
En los dos casos planteados se pueden calcular los valores aproximados de la integral definida utilizando lo que se conoce como integración numérica o integración aproximada.
Estos métodos emplean valores de f(x) en diversos puntosy son especialmente apropiados para computadoras y calculadoras.
Un método para resolver estos casos ya lo conocemos dado que la integral definida se define como un límite de sumas de Riemann de modo que se podría utilizar cualquiera de las sumas de Riemann para aproximar la integral.
También es posible utilizar la regla del punto medio, la regla trapezoidal o la regla de Simpson.

REGLA DESIMPSON

Además de aplicar la regla trapezoidal con segmentos cada vez más finos, otra manera de obtener una estimación más exacta de una integral, es la de usar polinomios de orden superior para conectar los puntos. Por ejemplo, si hay un punto medio extra entre f(a) y f(b), entonces los tres puntos se pueden conectar con un polinomio de tercer orden.

A las fórmulas resultantes de calcularla integral bajo estos polinomios se les llaman Reglas de Simpson.


REGLA DE SIMPSON 1/3

La Regla de Simpson de 1/3 proporciona una aproximación más precisa, ya que consiste en conectar grupos sucesivos de tres puntos sobre la curva mediante parábolas de segundo grado, y sumar las áreas bajo las parábolas para obtener el área aproximada bajo la curva. Por ejemplo, el área contenida endos fajas, bajo la curva f(X) en la fig. 2, se aproxima mediante el área sombreada bajo una parábola que pasa por los tres puntos:


(Xi , Yi)
(Xi+1, Yi+1)
(Xi+2, Yi+2)


 


Fig. 2
Por conveniencia al derivar una expresión para esta área, supongamos que las dos fajas que comprenden el área bajo la parábola se encuentran en lados opuestos del origen, como se muestra en la fig. 3. Estearreglo no afecta la generalidad de la derivación.

La forma general de la ecuación de la parábola de segundo grado que conecta los tres puntos es:


   (7)

La integración de la ec. (7) desde - hasta  proporciona el área contenida en las dos fajas mostradas bajo la parábola. Por lo tanto:


   (8)


 


Fig. 3
La sustitución de los límites en la ec. (8) produce:


  (9)

Las constantes a y c se pueden determinar sabiendo que los puntos , (0, Yi + 1 ), y deben satisfacer la ec. (7). La sustitución de estos tres pares de coordenadas en la ec. (7) produce:


   (10)

La solución simultánea de estas ecuaciones para determinar las constantes a, b, c, nos lleva a:

   (11)

La sustitución de la primera y tercera partes de la ec. (11) en la ec. (9)produce:


   (12)

que nos da el área en función de tres ordenadas Yi, Y i+1, Y i+2 y el ancho  de una faja.

Esto constituye la regla de Simpson para determinar el área aproximada bajo una curva contenida en dos fajas de igual ancho.

Si el área bajo una curva entre dos valores de X se divide en n fajas uniformes (n par), la aplicación de la ec. (12) muestra que:


   (13)Sumando estas áreas, podemos escribir:


  (14)

o bien

   (15)

en donde n es par.

La ec. (15) se llama Regla de Simpson de un Tercio para determinar el área aproximada bajo una curva. Se puede utilizar cuando el área se divide en un número par de fajas de ancho .

Si la función f(X) se puede expresar como una función matemática continua que tiene derivadas continuas f ' a ,...