Proglineal Sol

SOLUCIONES

EJERCICIOS PROGRAMACIÓN LINEAL

Ejercicio nº 1.-

a) Dibuja el recinto formado por los puntos que cumplen las siguientes condiciones:



b) Indica si los puntos (0, 0), (2, 1) y (1, 2) forman parte de las soluciones del sistema anterior.

Solución:



Tomamos un punto cualquiera; por ejemplo el (1, 0), para comprobar cuáles son los puntos que cumplen lasdesigualdades propuestas.

El recinto buscado es:



b) A la vista de la gráfica anterior, tenemos que (0, 0) y (2, 1) no son soluciones del sistema, pero (1, 2) sí lo es.


Ejercicio nº 2.-

Maximiza la función z = x  y, sujeta a las siguientes restricciones:



Solución:



y hallamos la región que cumple las condiciones del problema, teniendo en cuenta que
x  0 e y  0.

 Representamos ladirección de las rectas z = x  y, dibujando la que pasa por el origen de coordenadas: x  y = 0





el máximo, que vale: z = 8  4 = 12


Ejercicio nº 3.-

En una granja de pollos se da una dieta "para engordar" con una composición mínima de 15 unidades de una sustancia A y otras 15 de una sustancia B. En el mercado solo se encuentran dos clases de compuestos: el tipo I con una composiciónde una unidad de A y cinco de B, y el tipo II con una composición de cinco unidades de A y una de B. El precio del tipo I es de 10 euros y el del tipo II es de 30 euros. Se pregunta:
¿Qué cantidades se han de comprar de cada tipo para cubrir las necesidades con un coste mínimo?

Solución:

Llamamos x a las unidades que se compran de tipo I e y a las que se compran de tipo II.
Resumamoslos datos en una tabla:


Las restricciones son:



La función que nos da el coste es z = 10x  30y = 10(x  3y).

Debemos hacer mínima esta función, sujeta a las restricciones anteriores.

Dibujamos el recinto correspondiente a las restricciones, y la recta 10(x  3y) = 0 
x  3y = 0, que nos da la dirección de las rectas z = 10(x  3y).





Por tanto, hay que comprar 2,5 de tipo I y 2,5de tipo II.

El precio en este caso será de z = 10(2,5  32,5) = 100 euros.


Ejercicio nº 4.-

Disponemos de 210 000 euros para invertir en bolsa. Nos recomiendan dos tipos de acciones. Las del tipo A que rinden el 10% y las de tipo B que rinde el 8%. Decidimos invertir un máximo de 130 000 euros en las de tipo A y, como mínimo, 6 000 euros en las de tipo B. además, queremos que lainversión en las del tipo A sea menor o igual que el doble de la inversión en B.

¿Cuál tiene que ser la distribución de la inversión para obtener máximo interés anual?

Solución:

Llamamos x al dinero que invertimos en acciones de tipo A e y al que invertimos en las de tipo B.

Resumimos los datos en una tabla:



Las restricciones son:



La función que nos da el rendimiento total es:Debemos maximizar esta función, sujeta a las restricciones anteriores.

Dibujamos el recinto correspondiente a las restricciones (la unidad es 10 000)





El máximo se alcanza en el punto (13, 8).

Por tanto, debemos invertir 130 000 euros en acciones del tipo A y 80 000 euros en las de tipo B. En este caso, el beneficio anual será de


Ejercicio nº 5.-

a) Representa el recinto que cumple estasrestricciones:



b) Da tres puntos que sean solución del sistema anterior.

Solución:



Tomamos un punto cualquiera, por ejemplo el (0, 0), para comprobar cuáles son los puntos que cumplen las desigualdades propuestas.

El recinto buscado es:



b) Por ejemplo: (1, 1), (2, 2) y (2, 0).


Ejercicio nº 6.-

Halla el mínimo de la función z = 3x  2y con las siguientes restricciones:Solución:



y hallamos la región que cumple las condiciones del problema, teniendo en cuenta que
x  0 e y  0.

Los vértices de dicha región son los puntos:



 Representamos la dirección de las rectas z = 3x  2y, dibujando lo que pase por el origen de coordenadas: 3x  2y = 0

 Observamos que la recta 3x  2y = 0 y la recta 3x  2y = 2 son paralelas. Por tanto,


Este mínimo vale:

z...