Programación Lineal

FORMULACIÓN DE PRODUCTOS Y OPTIMIZACIÓN DE PROCESOS MEDIANTE PROGRAMACIÓN LINEAL

INTRODUCCIÓN
Muchos alimentos consisten en una combinación de ingredientes que deben mezclarse, este producto debe cumplir con ciertas especificaciones respecto a la cantidad de componentes, uno de los puntos más importantes es encontrar la formulación que implique el mínimo costo.
La PROGRAMACIÓN LINEAL es unatécnica con sustento matemático adquirida para optimizar funciones como el costo, al tiempo que se cumple con una serie de especificaciones o restricciones.

EJEMPLO
El siguiente ejemplo es una introducción a la programación lineal.
Se quiere formular un alimento para perros que consiste en tres ingredientes: harina Guau, trocitos Fido y un rellenador carente de valor nutritivo. Cienkilogramos del producto final deben contener por lo menos 10 kilogramos de proteína, 6 kilogramos de grasa y 15 kilogramos de fibra, estos ingredientes se componen de:

Harina Guau | 10% proteína | 12% grasa | 75% fibra |
Trocitos Fido | 50% proteína | 15% grasa | 20% fibra |

Los índices de precios indican que los cien kilogramos de harina Guau se están vendiendo a $2.50 y los trocitos Fido a$3.00, siendo el precio por un kilogramo $0,025 y $0.030 respectivamente.
Nos piden calcular la formulación de menor costo que cumpla con las especificaciones.

1. Variables del problema:

G = kilogramos de harina Guau en 100 kilogramos del producto.
F = kilogramos de trocitos Fido en 100 kilogramos del producto.

2. Función objetivo:

C = 0.025G + 0.030F

3. Restricciones Nonegativas:

G≥0 y F≥0

4. Restricciones del peso combinado:

G +F ≤ 100

5. Otras restricciones

Proteína: 0.10G + 0.50F ≥ 10
Grasa : 0.12G + 0.15F ≥ 6
Fibra : 0.75G + 0.20F ≥ 15

6. Solución del problema:

Establecido lo anterior, se vuelve a plantear en términos matemáticos formales como sigue:
Encuentre G≥0 y F≥0, de modo queProteína: 0.10G + 0.50F ≥ 10
Grasa : 0.12G + 0.15F ≥ 6
Fibra : 0.75G + 0.20F ≥ 15
Peso : G +F ≤ 100
Y, así, C = 0.025G + 0.030F se minimiza.

Solución gráfica

1. En el caso de problemas sencillos con dos variables únicamente, es posible resolver un problema de programación lineal por un método gráfico.Además encontrar una solución grafica permite entender mejor la programación lineal.

Posibles soluciones
Posibles soluciones

Figura 1.1 G y F en un plano bidimensional
Figura 1.1 G y F en un plano bidimensional



2. Este plano se conoce como el “espacio problema” de este problema y se extiende hacia el infinito en todas lasdirecciones, cualquier punto de este plano nos indica una posible solución, pero debido a las restricciones no negativas es que no podemos tomas los valores negativos y así daremos paso a una gráfica mostrando la intersección luego de graficar: G≥0 y F≥0


Figura 1.2 G>0 y F>0 (ambas restricciones)
Figura 1.2 G>0 y F>0 (ambas restricciones)3. Representacion grafica dela restricción de los nutrientes. Cada restricción define unmedio plano.
A. Restricción de Proteína
0.10G + 0.50F ≥ 10
F=0 G=100
G=0 F=20
A. Restricción de Proteína
0.10G + 0.50F ≥ 10
F=0 G=100
G=0 F=20


B. Restricción de grasa0.12G + 0.15F ≥ 6
F=0 G=50
G=0 F=40
B. Restricción de grasa
0.12G + 0.15F ≥ 6
F=0 G=50
G=0 F=40


Figura 1.3 restricciones de nutrientes
Figura 1.3 restricciones de nutrientes
C. Restricción de fibra
0.75G + 0.20F ≥ 15
F=0 G=20
G=0 F=75
C. Restricción...