PROGRESIONESII

PROGRESIONES Y OTRAS SUCESIONES II
Elena Gil Clemente
Profesora Matemáticas
Colegio Sagrado Corazón
Avda. Pririneos s/n
50018-Zaragoza
elena@fsbarat.org

Taller de Talento Matemático: Progresiones y otras sucesiones II. Elena Gil Clemente

PROGRESIONES Y OTRAS SUCESIONES II
Elena Gil Clemente
Profesora Matemáticas
Colegio Sagrado Corazón
Avda. Pririneos s/n
50018-Zaragoza
elena@fsbarat.org

1.PARA EMPEZAR, UN BREVE REPASO A LO QUE YA SABEMOS…
El pasado curso estudiamos los conceptos fundamentales de este tema: aquí en
esta sesión, y también en vuestro curso de 3º ESO.
Repasaremos mediante ejercicios las técnicas que ya aprendisteis, para poder
profundizar un poco más.
Sucesión de Fibonacci: ¿recuerdas el ejemplo de la familia de conejos que se
reproducía cada mes dando lugar a otrafamilia de conejos? Daba así lugar a una
de las sucesiones más famosas de la historia: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 11… definida por
recurrencia y llamada también sucesión ecológica por la cantidad de veces que
aparece en la naturaleza
Sucesiones y su término general: definimos así sucesión como una serie
ordenada de números, que en ocasiones se pueden calcular a partir del lugar que
ocupan mediante la formuladel término general:
Ejemplos: ¿sabrías calcular el término general de:
a)
b)
c)
d)
e)

1,4,7,10,13….
1,4,9,16,25…
2, 6, 12, 20, 30,…
2,6,18,54,162…
3,7,12,19,…..

En algunas sucesiones los cálculos son más sencillos porque los términos
cumplen una determinada característica: son las progresiones.
Progresiones aritméticas:cada término se obtiene a partir del anterior sumando
una cantidad fijallamada diferencia. Conseguimos así una fórmula sencilla para el
cálculo del término general y de la suma de n términos consecutivos:

a n = a1 + (n -1)d ya que para pasar de a1 a a n damos n -1 pasos de amplitud d
(a + a ).n
Sn = 1 n
2
†
†

Progresiones geométricas: cada término se obtiene a partir del anterior,
multiplicándolo por una cantidad fija llamada razón. Las formulas anteriores
quedanahora:

a n = a1.r n-1
Sn =

a1 .r n-1 - a1
r -1

Si la razón de la progresión es menor que 1, se puede aspirar a sumar todos
los términos de la progresión geométrica mediante la siguiente fórmula:

†

†

S=

a1
1- r

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Por último recuerda que todas estas fórmulas no son mágicas sino que se
deducen racionalmente yen la sesión del año pasado lo hicimos.
Algunos problemas para refrescar las ideas:
1. Números pentagonales
Los términos de la serie 1, 5, 12, 22,35…… se llaman números pentagonales porque
se pueden representar así:

a1=2

a2=5

a3=12

a4=22

Para calcular el siguiente término a6, resulta algo pesado contar, así que utilizamos
otro método con ayuda de las progresiones aritméticas

Ï(1+ 2 + 3 + 4 +5 + 6) + ¸
Ô
Ô
˝ = 51
a 6 = Ì(2 + 3 + 4 + 5 + 6)
Ô
Ô
Ó(1+ 2 + 3 + 4 )
˛
2. Leyenda del inventor del ajedrez
Una leyenda cuenta que el inventor del ajedrez presentó su invento a un príncipe de la
India. El príncipe quedó tan impresionado que quiso premiarle generosamente, para lo
cual le dijo: "Pídeme lo que quieras, que te lo daré".
El inventor del ajedrez formuló su petición del modo siguiente:"Deseo que me entregues un grano de trigo por la primera casilla del tablero, dos por
la segunda, cuatro por la tercera, ocho por la cuarta, dieciséis por la quinta, y así
sucesivamente hasta la casilla 64".
La sorpresa fue cuando el secretario del príncipe calculó la cantidad de trigo que
representaba la petición del inventor, porque toda la Tierra sembrada de trigo era
insuficiente para obtenerel trigo que pedía el inventor.
¿Cuántos trillones de granos de trigo pedía aproximadamente?
3. A vueltas con los bancos
Cuando en un banco ingresamos un capital, pongamos 1000 euros, éste nos ofrece un
porcentaje anual de interés, pongamos el 4%. ¿Qué significa esto? Que al cabo de un
año nuestro capital se ha convertido en
4
1000 + 4% de 1000, es decir 1000 +
.1000 = 1000 + 40 = 1040.
100
Ê
4...