propiedades de los determinantes

PROPIEDADES DE LOS DETERMINANTES
 |At|= |A|
El determinante de una matriz A y el de su traspuesta At son iguales.


 2  |A| = 0    Si:
Posee dos filas (o columnas) iguales.

Todos los elementos de una fila (o una columna) son nulos.

Los elementos de una fila (o una columna) son combinación lineal de las otras.

F3 = F1 + F2


 3  Un determinante triangular es igual al producto delos elementos de la diagonal principal.



 4  Si en un determinante se cambian entre sí dos filas (o dos columnas), su valor sólo cambia de signo.



 5  Si a los elementos de una fila (o una columna) se le suman los elementos de otra multiplicados previamente por un número real, el valor del determinante no varía.
Es decir, si una fila (o una columna) la transformamos en unacombinación lineal de las demás, el valor del determinante no varía.
 


 6  Si se multiplica un determinante por un número real, queda multiplicado por dicho número cualquier fila (o cualquier columna), pero sólo una.



 7  Si todos los elementos de una fila (o columna) están formados por dos sumandos, dicho determinante se descompone en la suma de dos determinantes en los que las demás filas (ocolumnas) permanecen invariantes.



 8  |A · B| =|A| · |B|
El determinante de un producto es igual al producto de los determinantes.
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Determinante de 4x4
Consiste en conseguir que una de las líneas del determinante esté formada por elementos nulos, menos uno: el elemento base o pivote, que valdrá 1 ó -1 .Seguiremos los siguientes pasos: 1.Si algún elemento del determinante vale la unidad, se elige una de las dos líneas: la fila o la columna, que contienen a dicho elemento (sedebe escoger aquella que contenga el mayor número posible de elementos nulos).

2.En caso negativo:
1. Nos fijamos en una línea que contenga el mayor número posible de elementos nulos y operaremos para que uno de los elementos de esa línea sea un 1 ó -1 (operando con alguna línea paralela ).

2.Dividiendo la línea por uno de sus elementos, por lo cual deberíamos multiplicar el determinante pordicho elemento para que su valor no varie. Es decir sacamos factor común en una línea de uno de sus elementos.

3.Tomando como referencia el elemento base, operaremos de modo que todos los elementos de la fila o columna, donde se encuentre, sean ceros.

4.Tomamos el adjunto del elemento base, con lo que obtenemos un determinante de orden inferior en una unidad al original.
 = 2(-58)
Cálculode un determinante de orden 1
  |a 11| = a 11
Cálculo de un determinante de orden 2
   = a 11 a 22 − a 12 a 21
Cálculo de un determinante de orden 3
Regla de Sarrus
Los términos con signo + están formados por los elementos de la diagonal principal y los de las diagonales paralelas con su correspondiente vértice opuesto.
Los términos con signo − están formados por los elementos de ladiagonal secundaria y los de las diagonales paralelas con su correspondiente vértice opuesto.
=
= a11 a22 a33 + a12 a23 a 31 + a13 a21 a32 −
− a 13 a22 a31 − a12 a21 a 33 − a11 a23 a32.
Cálculo de un determinante de cualquier orden
Consiste en conseguir que una de las líneas del determinante esté formada por elementos nulos, menos uno: el elemento base o pivote, que valdrá 1 ó −1.
Seguiremos lossiguientes pasos:
 1  Si algún elemento del determinante vale la unidad, se elige una de las dos líneas: la fila o la columna, que contienen a dicho elemento (se debe escoger aquella que contenga el mayor número posible de elementos nulos).

 2  En caso negativo seguiremos alguno de los siguientes pasos:
 1  Nos fijamos en una línea que contenga el mayor número posible de elementos nulos y...