propiedades de los determinantes

PROPIEDADES DE LOS DETERMINANTES


1.|At|= |A|
El determinante de una matriz A y el de su traspuesta At son iguales.


2. |A|=0 Si:
Posee dos líneas iguales

Todos los elementos de una línea son nulos.

Los elementos de una línea son combinación lineal de las otras.

F3 = F1 + F2

3. Un determinante triangular es igual al producto de los elementos de la diagonal principal..4.Si en un determinante se cambian entre sí dos líneas paralelas su determinante cambia de signo.


5.Si a los elementos de una línea se le suman los elementos de otra paralela multiplicados previamente por un nº real el valor del determinante no varía.


6.Si se multiplica un determinante por un número real, queda multiplicado por dicho número cualquier línea, pero sólo una.


7.Si todos los elementos de una fila o columna están formados por dos sumandos, dicho determinante se descompone en la suma de dos determinantes.


8.|A·B| =|A|·|B|
El determinante de un producto es igual al producto de los determinantes





Una matriz en la que número de filas sea igual al de columnas, se denomina matriz cuadrada, si el número de filas y de columnas es n, se denominamatriz n×n o matriz cuadrada de orden n.






Determinante de una matriz
.
Se llama determinante de una matriz cuadrada de orden n, cuyos términos pertenecen al cuerpo K, al escalar que se obtiene al sumar todos los diferentes productos de n elementos, que se pueden formar con los elementos de la matriz, de modo que en cada producto figuren elementos de todas las filas y todas lascolumnas de la matriz, a cada producto se le asigna el signo: (+), si la permutación de los subíndices de filas de sus elementos es de la misma clase que la permutación de los subíndices de las columnas y el signo: (–) si las permutaciones son de distinta clase.

Menor complementario
Partiendo de una matriz cuadrada: A, de orden n, se llama menor complementario del elemento , ylo representamos al determinante de la matriz cuadrada de orden n-1 que resulta de eliminar de la matriz A la fila i y la columna j.
Dada la matriz cuadrada de orden 5:

el menor complementario del elemento , será :

y el menor complementario del elemento , será :

Adjunto de un elemento
Se llama adjunto del elemento y se representa al determinante que resulta atribuir elsigno: (+) al menor complementario si i+j es par o el signo: (–) si i+j es impar.

Dada la matriz cuadrada de orden 5:

el adjunto del elemento , será :

y el adjunto del elemento , será :

Caso general
Partiendo de una matriz cuadrada de grado n, según el teorema de Laplace el valor de su determinante es igual a la suma de los productos de los elementos de una fila ocolumna por sus adjuntos, así tomando una fila f cualesquiera el determinante es:

Y tomando una columna c, sera:

Función recursiva para el cálculo del determinante de una matriz
Podemos concluir con una Función recursiva para el calculo del determinante, sabiendo que el valor del determinante de una matriz de orden uno es el único elemento de esa matriz, y el de una matriz de ordensuperior a uno es la suma de cada uno de los elementos de una fila o columna por los Adjuntos a ese elemento, como en la función recursiva se emplea la misma función definida el calculo lo haremos por Menor complementario, un ejemplo desarrollado por la primera fila seria:

Matriz 3×3
Partiendo de una matriz 3×3:

Para calcular el determinante por los adjuntos de la primerafila:

Desarrollando los determinantes 2*2, tendremos:

Eliminando los paréntesis, tenemos:

Que podemos ordenar, para presentarlo en la forma usual de la Regla de Sarrus:

Producto vectorial
Un caso concreto de la aplicación del Teorema de Laplace es el Producto vectorial, partiendo de dos vectores u y v:


el producto vectorial de ambos es otro vector:

Que se calcula con...