Prueba De Algebra Lineal

Universidad de La Frontera
´
Facultad de Ingenier´ Ciencias y Administracion
ıa
´
Departamento de Matematica y Estad´
ıstica

´
Soluci´n Prueba N◦4 Algebra (IME006)
o
Ingenier´ Civilesıas
Profesores: Mar´ Teresa Alcalde, Ra´l Benavides, C´sar Burgue˜o, Erwin Henr´
ıa
u
e
n
ıquez,
Elizabeth Henr´
ıquez, Joan Manuel Molina, Marcia Molina, Alex Sep´lveda.
u
14 de Diciembre de2011.

1. Encuentre condiciones sobre β para que v = (1, 0, 1, −2) sea combinaci´n lineal de los
o
vectores del conjunto S = {(1, −1, 1, 0), (2, −1, 1, 1), (β, 2, −1, 0), (3 + β, 0, 1, 1)}Soluci´n.
o
Sea v = x(1, −1, 1, 0) + y (2, −1, 1, 1) + z (β, 2, −1, 0) + t(3 + β, 0, 1, 1)
Tenemos la familia de sistemas de ecuaciones siguiente:
x + 2y + βz + (3 + β )t
− x − y + 2z
x+y−z+t
y+t


1
1

1
0

11
0 1
−→ 
0 0
00



1
1 −1
1
1

0
2 β 3+β
1
−→ 
0
1 −2
0
0
1
0
1 −2
0


1
1
−1
1

0
0
1 −2 
−→ 
0
0
β+1 β+2
1
1
01

=
=
=
=

1
0
1
−2


1
1
−1
1
1 β+1 β+2
0

0
−1
−1 −1 
1
0
1 −2

0
−1
0
3
1
0
1 −2 

2
0 β+1 β+1
0
1
1
1

De donde vemos que existe soluci´nsolamente si β = 1.
o
2. Halla la base escalonada y dimensi´n de S + T si:
o
S=
T=

(a, b, c, d) ∈ R4 ; b = c − d, a = 2d
(4, −1, 1, 2), (1, −1, 1, 1), (5, −2, 2, 3), (6, −3, 3, 4)

´
AlgebraAnual 2011, UFRO

1

Soluci´n.
o
Escribamos S en forma param´trica, se tiene: S = {(2d, c − d, c, d); c, d ∈ R}, luee
go un conjunto de generadores de S es: {(2, −1, 0, 1), (0, 1, 1, 0)}.Escalonemos el
conjunto de generadores de T :




1 −1
1
1
1 −1 1 1

 4 −1 1 2 
3 −3 −2 

→ 0

0
 5 −2 2 3 
3 −3 −2 
0
3 −3 −2
6 −3 3 4


1 −1
1
1
2
0
1 −1 − 3
0
1/3
→ 1 0
→
.
0

0 1 − 1 − 2/3
0
0
0
0
0
0
0
Busquemos la base escalonada de S + T :



1
0
0
1/3
1
0

0
0
1 − 1 − 2/3 
1


 →  0 −1
 2 −1
0...