raices
Páginas: 9 (2121 palabras)
Publicado: 16 de mayo de 2014
open green
road
Guía Matemática
RA´CES
I
´
profesor: Nicolas Melgarejo
.cl
open green
road
1.
Ra´
ıces y potencias
La radicaci´n podemos entenderla como la operaci´n inversa a la potenciaci´n, as´ como multiplicar
o
o
o
ı
√
y dividir, sumar y restar. La ra´ en´sima de a elevada a m es n am , de la cual podemos distinguir dos
ız e
elementos importantes:
¡Mira!Para el trabajo algebraico y aritm´tico con ra´
e
ıces es importante que no olvidemos que existe una
relaci´n entre ra´
o
ıces y potencias:
√
m
a n = n am
De esta relaci´n podemos encontrar una serie de propiedades para las ra´
o
ıces.
√
√ √
n
n
1. n a · b = ab
Esto se debe a que
√
n
a·
√
n
1
1
b = an · bn
1
= (ab) n
√
n
= ab
√
n
a
2. √ =
n
b
na
b
Esto se debe a que
√
1
n
a
an
√ = 1
n
b
bn
a
=
b
=
3.
n
√
m
a=
√
n·m
n
1
n
a
b
a
Esto se debe a que
n
√
m
a=
√
m
a
1
= am
1
1
= am·n
1
= a n·m
√
= n·m a
2
1
n
1
n
open green
road
4.
√
n
√
an b = a n b
Esto se debe a que
√
1
n n
a b = (an b) n
1
1
= (an ) n b n
n √n
= an b
√
n
=a b
Esta propiedad es muy util, ya que nos permite
´
extraer de la ra´ todas las cantidades subradicales
ız
que tengan un exponente divisible por el ´
ındice de
la ra´ De manera general:
ız.
√
m √
n m
n
a b = an b
Ejemplo
Aplica las propiedades de las ra´
ıces para escribir los radicales de la forma m´s simple posible.
a
1.
√
4 · 16
3.Soluci´n: Escribimos las cantidades subradio
cales como potencias y luego aplicamos la propiedad 4.
√
√
4 · 16 = 22 · 42
3
27
125
Soluci´n: Escribimos el numerador y denoo
minador como potencia y luego extraemos de
la ra´ las cantidades subradicales que tengan
ız
un exponente divisible por el ´
ındice.
=2·4
=8
2.
√
3
27
=
125
18
=
Soluci´n: Escribimos la cantidadsubradical
o
como factorizaci´n prima y luego extraemos
o
de la ra´ las cantidades subradicales que tenız
gan un exponente divisible por el ´
ındice.
√
√
18 = 2 · 9
√
= 2 · 32
√
=3 2
=
4.
√
3
3
33
53
3
5
3
5
1 ÷ 36
Soluci´n:
o
√
3
1
36
√
1
=√
36
1
=
6
1 ÷ 36 =
3
open green
road
49
5.
81
Soluci´n:
o
6.
√
9.
50Soluci´n: Para simplificar el radical debemos
o
escribir la cantidad subradical como factorizaci´n prima.
o
√
49
49
=√
81
81
7
=
9
√
215
= 25
= 32
81
Soluci´n: Aplicamos la propiedad 3:
o
√
√
2·2
81 =
81
√
4
= 81
√
4
= 92
=
=
4
√
4
=
2 · 25
2 · 52
√
√
2 108 = 2 2 · 54
√
=2 2·6·9
√
= 2 2 · 2 · 3 · 32
√
= 2 22 · 33
√
= 2 · 2 33√
= 4 33
Soluci´n: Aplicando la relaci´n entre poteno
o
cias y ra´
ıces:
√
15
3
215 = 2 3
√
√
Soluci´n: Para simplificar el radical debemos
o
escribir la cantidad subradical como factorizaci´n prima.
o
= 27
8.
√
√
10. 2 108
= 33
√
3
50 =
√
=5 2
36
Soluci´n: Aplicando la relaci´n entre poteno
o
cias y ra´
ıces:
√
6
36 = 3 2
7.
√
Lapotencia 33 la podemos escribir como 32 ·3,
de este modo podemos extraer 32 de la ra´
ız
cuadrada.
√
√
4 33 = 4 32 · 3
√
=4·3 3
√
= 12 3
(32 )2
34
=3
Ejercicios
1
Aplica las propiedades de las ra´
ıces para escribir los radicales de la forma m´s simple posible.
a
1.
2.
3.
√
√
72
162
1√
250
5
3√
80
8
√
5. 3 48
1√
6. 3 192
8
7.
4.
8.9.
4
3
3
√
6
√
64
√
2 13
7
729
3√
3
375
5
√
11. 3 3 5.000
√
12. 2 4 10.000
10.
open green
road
2.
Ra´
ıces semejantes
Decimos que dos o m´s radicales son semejantes cuando tienen el mismo ´
a √
ındice y la misma cantidad
√
√
√ 2 2
, m 2 y 5 2 son radicales semejantes porque tienen en com´n el radical
u
subradical, por ejemplo 2,
3
√...
road
Guía Matemática
RA´CES
I
´
profesor: Nicolas Melgarejo
.cl
open green
road
1.
Ra´
ıces y potencias
La radicaci´n podemos entenderla como la operaci´n inversa a la potenciaci´n, as´ como multiplicar
o
o
o
ı
√
y dividir, sumar y restar. La ra´ en´sima de a elevada a m es n am , de la cual podemos distinguir dos
ız e
elementos importantes:
¡Mira!Para el trabajo algebraico y aritm´tico con ra´
e
ıces es importante que no olvidemos que existe una
relaci´n entre ra´
o
ıces y potencias:
√
m
a n = n am
De esta relaci´n podemos encontrar una serie de propiedades para las ra´
o
ıces.
√
√ √
n
n
1. n a · b = ab
Esto se debe a que
√
n
a·
√
n
1
1
b = an · bn
1
= (ab) n
√
n
= ab
√
n
a
2. √ =
n
b
na
b
Esto se debe a que
√
1
n
a
an
√ = 1
n
b
bn
a
=
b
=
3.
n
√
m
a=
√
n·m
n
1
n
a
b
a
Esto se debe a que
n
√
m
a=
√
m
a
1
= am
1
1
= am·n
1
= a n·m
√
= n·m a
2
1
n
1
n
open green
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4.
√
n
√
an b = a n b
Esto se debe a que
√
1
n n
a b = (an b) n
1
1
= (an ) n b n
n √n
= an b
√
n
=a b
Esta propiedad es muy util, ya que nos permite
´
extraer de la ra´ todas las cantidades subradicales
ız
que tengan un exponente divisible por el ´
ındice de
la ra´ De manera general:
ız.
√
m √
n m
n
a b = an b
Ejemplo
Aplica las propiedades de las ra´
ıces para escribir los radicales de la forma m´s simple posible.
a
1.
√
4 · 16
3.Soluci´n: Escribimos las cantidades subradio
cales como potencias y luego aplicamos la propiedad 4.
√
√
4 · 16 = 22 · 42
3
27
125
Soluci´n: Escribimos el numerador y denoo
minador como potencia y luego extraemos de
la ra´ las cantidades subradicales que tengan
ız
un exponente divisible por el ´
ındice.
=2·4
=8
2.
√
3
27
=
125
18
=
Soluci´n: Escribimos la cantidadsubradical
o
como factorizaci´n prima y luego extraemos
o
de la ra´ las cantidades subradicales que tenız
gan un exponente divisible por el ´
ındice.
√
√
18 = 2 · 9
√
= 2 · 32
√
=3 2
=
4.
√
3
3
33
53
3
5
3
5
1 ÷ 36
Soluci´n:
o
√
3
1
36
√
1
=√
36
1
=
6
1 ÷ 36 =
3
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49
5.
81
Soluci´n:
o
6.
√
9.
50Soluci´n: Para simplificar el radical debemos
o
escribir la cantidad subradical como factorizaci´n prima.
o
√
49
49
=√
81
81
7
=
9
√
215
= 25
= 32
81
Soluci´n: Aplicamos la propiedad 3:
o
√
√
2·2
81 =
81
√
4
= 81
√
4
= 92
=
=
4
√
4
=
2 · 25
2 · 52
√
√
2 108 = 2 2 · 54
√
=2 2·6·9
√
= 2 2 · 2 · 3 · 32
√
= 2 22 · 33
√
= 2 · 2 33√
= 4 33
Soluci´n: Aplicando la relaci´n entre poteno
o
cias y ra´
ıces:
√
15
3
215 = 2 3
√
√
Soluci´n: Para simplificar el radical debemos
o
escribir la cantidad subradical como factorizaci´n prima.
o
= 27
8.
√
√
10. 2 108
= 33
√
3
50 =
√
=5 2
36
Soluci´n: Aplicando la relaci´n entre poteno
o
cias y ra´
ıces:
√
6
36 = 3 2
7.
√
Lapotencia 33 la podemos escribir como 32 ·3,
de este modo podemos extraer 32 de la ra´
ız
cuadrada.
√
√
4 33 = 4 32 · 3
√
=4·3 3
√
= 12 3
(32 )2
34
=3
Ejercicios
1
Aplica las propiedades de las ra´
ıces para escribir los radicales de la forma m´s simple posible.
a
1.
2.
3.
√
√
72
162
1√
250
5
3√
80
8
√
5. 3 48
1√
6. 3 192
8
7.
4.
8.9.
4
3
3
√
6
√
64
√
2 13
7
729
3√
3
375
5
√
11. 3 3 5.000
√
12. 2 4 10.000
10.
open green
road
2.
Ra´
ıces semejantes
Decimos que dos o m´s radicales son semejantes cuando tienen el mismo ´
a √
ındice y la misma cantidad
√
√
√ 2 2
, m 2 y 5 2 son radicales semejantes porque tienen en com´n el radical
u
subradical, por ejemplo 2,
3
√...
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