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INTEGRALES: METODO DE SUSTITUCION



Calcula

1
I
 dx
x x 1

Hacemos la sustitución x  1  t 2

 x  t2 1

Calculamos la diferencial de x:
deseamos calcular. Tendremos:

dx  2t  dt

I

x

1
 dx 
x 1

 (t

1
2

 1). t

2

 (t

 2t.dt 

2

y sustituimos en la integral que

1
1
 2t.dt  2 2
 dt  2 arctg t  K 
 1).t
(t  1)



 {deshaciendo el cambio de variable}  2 arctgx  1  K



Calcula I 



dx
5x  2
1
 ( t  2)
5
1
dx   dt
y sustituimos
5

Hacemos el cambio 5 x  2  t  x 
Calculamos la diferencial de x:

1

I



1

dx
5x  2





1 1
1 2
1 t2
2
 .dt 
t .dt    K 
t K 
5
5 1
5
t 5
2



2
5x  2  K
5
Se podría resolver la integral directamente, sin necesidad de utilizar el método de
sustitución, empleando la fórmula de integración defunciones potenciales en su
forma compuesta:
 {deshaciendo el cambio} 

I

dx
5x  2




I



1



1



1
1
 dx   (5
x
2) 2 .dx    5  (5 x  2) 2 .dx 
1
5
(5 x  2) 2
f
1
2

1
2

1
1 (5 x  2)
2
5 .(5
x
2) .dx  
K 
5x  2  K

1
5 f'
5
5
f
2


(arctg x)3
 dx
1  x2

Hacemos el cambio

arctg x  t y calculamos la diferencial de x. Tendremos:
1
 dx  dt
1 x2Sustituyendo en la integral nos queda:



dx  (1  x 2 ).dt

I



(arctg x )3
 dx 
1  x2



t3
 (1  x 2 ).dt 
2
1 x



t 3.dt 

t4
(arctg x) 4
K 
K
4
4

Directamente:
I



(arctg x )3
 dx 
1  x2



1
(arctg x) 4
(arctg x )3 

dx

K
 1  x 2
4

f
f'



 x. x 1  dx
Hacemos la sustitución x  1  t 2

 x  t2 1

Calculamos la diferencial de x:
deseamos calcular.Tendremos:

dx  2t.dt



x. x  1  dx 



y sustituimos en la integral que

 t 5 t3 
(t 2  1). t 2  2tdt  2 (t 2  1).t 2 .dt 2 (t 4  t 2 ).dt  2     K 
5 3





5
3
2
2
2
2
  t 5   t 3  K   ( x  1) 2   ( x  1) 2  K
5
3
5
3





e x  3e 2 x
 dx
1  ex

Hacemos el cambio e x  t , con lo que e x .dx  dt  t.dx  dt  dx 

dt
t

Sustituyendo en la integral, nosqueda de la forma:



e x  3e 2 x
 dx 
1  ex



t  3t 2 dt
1  3t
 
 dt 
1 t t
1 t





4 
1

dt 
 3 
  dt  3 dt  4
1 t 
1 t


 

 3t  4 Ln |1  t |  K  3e x  4 Ln(1  e x )  K





e3 x  e 2 x  dx

Hacemos el cambio e x  t , con lo que e x .dx  dt  t.dx  dt  dx 

dt
t

Sustituyendo en la integral, nos queda de la forma:



e3 x  e 2 x  dx 

t3  t 2 

dt

t



t  t 1 

dt

t



t  1  dt 



1

(t  1) 2  dt 

(t  1)

3
2


3

2

2(e x  1)
K 
3

3

2

K 

2 (e x  1)3
2(e x  1) e x  1
K 
K
3
3

dx



x 3 x

Calculamos el mínimo común múltiplo de los índices de los radicales:
m  m.c.m.( 2,3)  6 y hacemos el cambio x  t 6  dx  6t 5 .dt Sustituyendo en
nuestra integral, nos queda:

t5
t5
t3

 6 3 2 dt  6 2
 dt  6
 dt 
t 1
t t
t (t  1)
x 3 x
t6  3 t6
 t3 t2

1 

 6 t2  t 1
  dt  6   t  L t  1   K
t 1

3 2

dx



6t 5 dt











Teniendo en cuenta que x  t 6  t  6 x con lo cual:
dx
6
x3 x



 6 x3 6 x 2 6


 x  Ln | 6 x  1|   K 

 3

2


 2 x  3  3 x  6  6 x  6 Ln | 6 x  1|  K



 sen

3

x.dx

Haciendo el cambio cos x t   sen x  dx  dt tendremos:

 sen x.dx   sen x.sen x.dx   (1  cos x)  (dt)   (1  t ).(dt)  (t 1).dt 
3

2







2

2

2

t3
1
 t  K   cos3 x  cos x  K
3
3

cos3 x
 dx
sen 4 x

Hacemos el cambio sen x  t  cos x .dx  dt con lo que la integral nos queda:



cos3 x
.dx 
sen 4 x



cos2 x  cos x  dx

t4





(t 4  t 2 )  dt 



(1  sen 2 x)  dt
t4



1 t2
 dt 
t4



 1 t2 
 4  4   dt 
t t 

t 3 t 1
1 1
1
1
 K   3 K 

K
3 1
t 3t
sen x 3sen 3 x





1
 dx
cos 4 x
1
 dx  dt y la integral nos queda:
cos 2 x

Hacemos el cambio tg x  t 
1
 dx 
cos 4 x



1
 cos 2 x  dt 
4
cos x

1
 dt 
cos 2 x



 (1  tg x)  dt 
t
1
 (1  t )  dt  t   K  tg x   tg x  K

3
3
2

3

2





3

cos x
 dx...