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Números naturales, enteros y racionales
Estudiamos en este tema los números reales que podemos ver como los más sencillos e
intuitivos. Empezamos detectando dentro de R a los números naturales, a partir de los cuales
definiremos fácilmente los números enteros y racionales. Iremos analizando el comportamiento
de estos tres subconjuntos de R con respecto a la suma, el producto y el orden.2.1.

Números naturales. Inducción

Intuitivamente, el conjunto N de los números naturales está formado por los números que
se obtienen sumando 1 consigo mismo: 1, 1 + 1 = 2, 1 + 1 + 1 = 3, etc. Sabemos ya que todos
estos números son distintos: 1 < 2 < 3... Pero veamos una definición rigurosa del conjunto N.
Se dice que un conjunto A ⊂ R es inductivo cuando verifica las dos condicionessiguientes:
(i) 1 ∈ A
(ii) x ∈ A ⇒ x + 1 ∈ A
Por ejemplo, R y R+ son conjuntos inductivos, R∗ y R− no lo son. Pues bien, definimos el
conjunto N de los números naturales como la intersección de todos los subconjuntos inductivos
de R. Poco a poco iremos viendo que esta definición se corresponde perfectamente con nuestra
idea intuitiva.
Empezamos observando que N es un conjunto inductivo. Por una parte, 1pertenece a todos
los subconjuntos inductivos de R, luego 1 ∈ N. Por otra, si n ∈ N y A es un subconjunto inductivo
de R, tenemos que n ∈ N ⊂ A, luego también n + 1 ∈ A, por ser A inductivo. Vemos así que
n + 1 pertenece a todos los subconjuntos inductivos de R, es decir, n + 1 ∈ N, como se quería.
Podríamos decir que N es el más pequeño de todos los subconjuntos inductivos de R, pues está
contenidoen todos ellos. Esta idea se refuerza con el siguiente enunciado, que es la propiedad
clave del conjunto N:
Principio de inducción. Si A es un subconjunto de N, y A es inductivo, entonces A = N.
La prueba es evidente: por ser A inductivo tenemos N ⊂ A, pero hemos supuesto A ⊂ N,
luego A = N.
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2. Números naturales, enteros y racionales

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En el principio anterior se basa un tipo derazonamiento muy frecuente, conocido como
método de demostración por inducción, que consiste en lo siguiente. Supongamos que para
cada número natural n se tiene una afirmación Pn que puede verificarse o no. Si probamos que
P1 es cierta y que Pn+1 es cierta siempre que lo sea Pn , entonces podemos asegurar que Pn es
cierta para todo n ∈ N. Para comprobarlo, llamemos A al conjunto de los números naturales ntales que Pn es cierta. Por ser P1 cierta tenemos que 1 ∈ A y el haber probado que Pn+1 es cierta
siempre que lo sea Pn , nos permite asegurar que n + 1 ∈ A siempre que n ∈ A. Por tanto A es un
subconjunto inductivo de N y el principio de inducción nos asegura que A = N.

2.2.

Suma y producto de números naturales

Como un primer ejemplo de demostración por inducción, se puede probar fácilmente quela
suma y el producto de números naturales son números naturales:
m, n ∈ N ⇒ m + n , mn ∈ N
En lo que sigue obtenemos algo más de información sobre la suma y el producto de números
naturales. Empezamos observando que el conjunto {x ∈ R : x 1} es inductivo, luego contiene
a N. Así pues, para todo n ∈ N tenemos que n 1, luego −n ∈
/ N; también observamos que
1/n ∈ N si, y sólo si, n = 1. Esto noimpide que la diferencia o el cociente de dos números
naturales puedan ser números naturales.
Con respecto a la diferencia, vamos a demostrar que para m, n ∈ N se tiene
m − n ∈ N ⇐⇒ m > n

(1)

La implicación hacia la derecha es evidente: si m − n ∈ N se tendrá m − n 1 > 0, luego m > n.
La otra implicación se prueba por inducción, usando el conjunto de los números naturales n
que la hacen cierta, esdecir, el conjunto A = {n ∈ N : m ∈ N , m > n ⇒ m − n ∈ N}. Bastará
evidentemente probar que A inductivo, lo que puede hacerse como sigue:
(i) 1 ∈ A. Deberemos ver que si m ∈ N y m > 1, entonces m − 1 ∈ N, lo que a su vez haremos
por inducción. Consideramos el conjunto B = {1} ∪ {m ∈ N : m − 1 ∈ N} y observamos
inmediatamente que B es un subconjunto inductivo de N, luego B = N. Entonces, si m ∈...