Recta De Un Plano

REPÚBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELA.
MINISTERIO DEL PODER POPULAR PARA LA EDUCACIÓN.
MARACAY-EDO. ARAGUA.

RECTA DE UN PLANO.
RECTA DE UN PLANO
DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS:

Cuando los puntos se encuentran ubicados sobre el eje x o en una recta paralela a este eje, la distancia entre los puntos corresponde al valor absoluto de la diferencia de sus abscisas.
Ejemplo: La distancia entre lospuntos (-4,0) y (5,0) es 4 + 5 = 9 unidades.
Cuando los puntos se encuentran ubicados sobre el eje y o en una recta paralela a este eje, la distancia entre los puntos corresponde al valor absoluto de la diferencia de sus ordenadas.
Ahora si los puntos se encuentran en cualquier lugar del sistema de coordenadas, la distancia queda determinada por la relación:

Para demostrar esta relación sedeben ubicar los puntos A(x1,y1) y B(x2,y2) en el sistema de coordenadas, luego formar un triángulo rectángulo de hipotenusa AB y emplear el teorema de pitágoras.
Ejemplo: Calcula la distancia entre los puntos A(7,5) y B (4,1)

d = 5 unidades

Demostración:
Sean P1 (x1, y1) y P2 (x2, y2) dos puntos en el plano.
 
 La distancia entre los puntos P1 y P2 denotada por d =  esta dada por: 
(1)
En la Figura 1 hemos localizado los puntos P1 (x1, y1) y P2 (x2, y2) así como también el segmento de recta 
 

|
Figura 1

Al trazar por el punto P1 una paralela al eje x (abscisas) y por P2 una paralela al eje y (ordenadas), éstas se interceptan en el punto R, determinado el triángulo rectángulo P1RP2 y en el cual podemos aplicar el Teorema de Pitágoras:

Pero: 

 y Luego, 

 

 
En la fórmula (1) se observa que la distancia entre dos puntos es siempre un valor positivo.
El orden en el cual se restan las coordenadas de los puntos P1 y  P2 no afecta el valor de la distancia.

PUNTO MEDIO ENTRE DOS PUNTOS:

Si los puntos extremos extremos de un segmento son A y B:

Las coordenadas del punto medio del segmento coinciden con la semisuma de lascoordenadas de los puntos extremos.


Ejemplo:

El punto medio del segmento AB es:

Coordenadas del punto medio de un segmento en el espacio:
Sean A (x1, y1, z1) y B (x2, y2, z2) los extremos de un segmento, el punto medio del segmento viene dado por:

Ejemplos:
1. Dados los puntos A (3, −2, 5) y B(3, 1, 7) , hallar las coordenadas del punto medio del segmento que determinan.2. Las coordenadas de los vértices consecutivos de un paralelogramo son A (1, 0, 0) y B (0, 1, 0). Las coordenadas del centro M son M (0, 0, 1). Hallar las coordenadas de los vértices C y D.

ECUACIÓN PUNTO PENDIENTE DE LA RECTA:

Pendiente:
La pendiente de una recta es la tangente del ángulo que forma la recta con la dirección positiva del eje OX.

Pendiente dado el ángulo:Pendiente dado el vector director de la recta:

Pendiente dados dos puntos:

Si el ángulo que forma la recta con la parte positiva del eje OX es agudo, la pendiente es positiva y crece al crecer el ángulo.

Si el ángulo que forma la recta con la parte positiva del eje OX es obtuso, la pendiente es negativa y decrece al crecer el ángulo.
Ecuación punto-pendiente:
Partiendo de la ecuación continuala recta:

Y quitando denominadores:

Y despejando:

Como:

Se obtiene:

Una recta pasa por el punto A (-1, 3) y tiene un vector director = (2,5). Escribir su ecuación punto pendiente.

Hallar la ecuación de la recta que pasan por los puntos A (-2, -3) y B(4,2).

Hallar la ecuación de la recta que pasan por A (-2, -3) y tenga una inclinación de 45°.

PENDIENTE DE UNA RECTA QUEPASA POR DOS PUNTOS:

¿Qué es la pendiente de una recta?
La pendiente de una recta en un sistema de representación rectangular (de un plano cartesiano), suele ser representado por la letra X, y es definido como el cambio o diferencia en el eje Y dividido por el respectivo cambio en el eje X, entre 2 puntos de la recta.
Supongamos que tenemos en el plano los puntos A y B con las siguientes...