Regla De Cramer

Universidad Capitán General Gerardo Barrios.

Facultad: Ciencia y Tecnología.

Carrera: Ingeniera en Sistemas y Redes Informáticas.

Cátedra: matemática computacional III

Tema de Estudio: “Regla de Cramer.”

Catedrático: Lic. Cristian Ernesto Martínez.

Nombre de integrantes:



San Miguel 14 de marzo de 2012.Regla de Cramer.
La regla de Cramer es un teorema en álgebra lineal, que da la solución de un sistema lineal de ecuaciones en términos de determinantes. Recibe este nombre en honor a Gabriel Cramer (1704 - 1752), quien publicó la regla en su Introduction à l'analyse des lignes courbes algébriques de 1750

Si es un sistema de ecuaciones. es la matriz de coeficientes del sistema, es elvector columna de las incógnitas y es el vector columna de los términos independientes. Entonces la solución al sistema se presenta así:

Donde es la matriz resultante de reemplazar la j-ésima columna de por el vector columna.
Condiciones para aplicar la regla de Cramer.
La regla de Cramer sirve para resolver sistemas de ecuaciones lineales. Se aplica a sistemas que cumplan las dos condicionessiguientes:
1. El número de ecuaciones es igual al número de incógnitas.
2.El determinante de la matriz de los coeficientes es distinto de cero.
Tales sistemas se denominan sistemas de Cramer.

Sea Δ el determinante de la matriz de coeficientes.

Y sean:
Δ 1, Δ 2 , Δ 3 ... , Δ n
los determinantes que se obtiene al sustituir los coeficientes del 2º miembro (los términos independientes)en la 1ª columna , en la 2ª columna, en la 3ª columna y en la enésima columna respectivamente.
Un sistema de Cramer tiene una sola solución que viene dada por las siguientes expresiones:

Fórmulas explícitas para sistemas pequeños.
Sistema de 2 ecuaciones con 2 incógnitas
Para la resolución de un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas, de la forma. Dado el sistema de ecuaciones:

Lorepresentamos en forma de matrices:

Entonces, e pueden ser encontradas con la regla de Cramer, con una división de determinantes, de la siguiente manera:

Sistema de 3 ecuaciones con 3 incógnitas
La regla para un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas es similar, con una división de determinantes:

Que representadas en forma de matriz es:

, , pueden ser encontradas como sigue:Demostración
Sean:

Usando las propiedades de la multiplicación de matrices:

entonces:

Por lo tanto:

Aparte, recordando la definición de determinante, la sumatoria definida acumula la multiplicación del elemento adjunto o cofactor de la posición , con el elemento i-ésimo del vector (que es precisamente el elemento i-èsimo de la columna , en la matriz ).
Para calcular este tipo desistemas en necesario seguir determinados pasos.
1. En primer lugar debemos hallar la matriz ampliada, la cual está asociada al sistema de ecuaciones. Esto quiere decir que la primera columna estará formada por las entradas de los coeficientes de la primera incógnita de las ecuaciones.
2. Por otro lado la segunda columna estará formada por los coeficientes de la segunda incógnita.
3.De esta forma llegaremos a la última de las columnas que estará constituida por las entradas de los términos independientes de las ecuaciones.

4. Luego de realizado esto podemos proceder a calcular el determinante de A.
5. Aplicamos luego la regla de Cramer que consiste en primer lugar en ir sustituyendo la primera columna del det(A) por los términos independientes.
6. Luego sedividirán los resultados de dicho determinante entre el det (A) para hallar así el valor de la incógnita primera.
7. Si continuamos sustituyendo los términos independientes en las diferentes columnas terminaremos hallando las incógnitas restantes.
Veamos a continuación un ejemplo.
Sea el sistema de ecuaciones lineales que se compone de dos ecuaciones con dos incógnitas:

Hallaremos los...