Regresion

Ejercicios Clarice
Ejercicios 1.4
Para cada uno de los conjuntos de datos presentados a continuaci´n discuta o la naturaleza de las variables, haga los diagramas de dispersi´n y discuta la o relaci´n entre las variables, tendencia, dispersi´n y puntos at´ o o ıpicos. 4. Los datos que siguen se refieren a concentraciones de CO2 (X) aplicados sobre las hojas de trigo a una temperatura de 35◦ Cylas cantidades de CO2 absorbido por las hojas (Y ). • Como vemos la variable X es una variable controlada mientras que Y Muestra X Y 1 75 0 2 100 0,65 3 100 0,50 4 120 1,00 5 130 0,95 6 130 1,30 7 160 1,80 8 190 2,80 9 200 2,50 10 240 4,30 11 250 4,50

Cuadro 1: Concentraciones de CO2 es aleatoria pues podemos determinar la cantidad de CO2 que se aplica, y observando el gr´fico de dispersi´n vemosque existe una relaci´n lineal a o o entre las variables y no posee datos at´ ıpicos en esta muestra.
Concentraciones de CO2
* * 4 3

* * y 2

* * 1 * * * 0 * 100 150 x1 200 250 *

Figura 1: Concentraciones de CO2

1

7. Los datos que siguen se refieren al numero de huevos puestos por 14 gallinas (X) y el n´mero de fol´ u ıculos ovulados (Y ). • Las dos variables son aleatorias, puesno sabemos ni controlamos el N ◦ de huevos N ◦ de fol´ ıculos 39 37 29 34 46 52 28 26 31 32 25 25 49 55 57 65 51 44 21 25 42 45 38 26 34 29 47 30

Cuadro 2: Huevos vs fol´ ıculos numero de huevos que pone las gallinas o el numero de fol´ ıculos ovulados, a pesar de esto vemos que existe una relaci´n lineal entre ellas sin ver o ning´n punto at´ u ıpico.
Huevos y Foliculos
* 60

* * 50 y

*40

*

* * * 30 * * 20 * 25 * 30 35 x1 * 40 45 50 55 *

Figura 2: Huevos y fol´ ıculos

Ejercicios 2.4
1. Considere un modelo de regresi´n lineal que pasa por el origen : o Yi = βXi +
i

Demuestre que la estimaci´n por m´ o ınimos cuadrados de β es ˆ β=
n i=1 Xi Yi n 2 i=1 Xi

2

•se tiene que
n n 2 i i=1

Z= lo que implica

=
i=1

(Yi − βXi )

2

∂Z = −2 (Yi − βXi )Xi = 0 ∂β i=1
n n

n

Yi Xi = β
i=1

2 Xi

ˆ β=

i=1 n i=1 Xi Yi n 2 i=1 Xi

y si se realiza la segunda derivada se obtiene ∂2Z 2 =2 Xi ≥ 0 ∂β 2 i=1 ˆ Por lo tanto en β existe un m´ ınimo de Z 2. Sea Y1 = θ + 1 Y2 = 2θ − φ + 2 Y3 = θ + 2φ + 3 En que E( i ) = 0 para i = 1, 2, 3, Encuentre las estimaciones por m´ ınimos cuadrados de θ y φ • Se define
n n

Z=
i=1

2 i

= (Y1 −θ)2 + (Y2 − 2θ − φ)2 + (Y3 − θ − 2φ)2

y derivando se obtiene ∂Z ∂θ = −2(Yi − θ) − 4(Y2 − 2θ + φ) − 2(Y3 − θ − 2φ) = Y1 + 2Y2 + Y3 + 6θ = 0 ∂Z ∂θ lo que implica que ˆ Y1 + 2Y2 + Y3 θ= 6 ˆ 2Y3 − Y2 φ= 5 3 = 2(Y2 − 2θ + φ) − 4(Y3 − θ − 2φ)

= Y2 − 2Y3 + 5φ = 0

y como ∂2Z  ∂θ2  2 ∂ Z ∂θ∂φ  H = x1 x2  ∂2Z ∂θ∂φ  x1  ∂ 2 Z  x2 ∂φ2

= 6x2 + 5x2 ≥ 0 1 2

ˆ ˆ entonces en (θ, φ) existe unm´ ınimo de Z. 3. Encuentre los estimadores por m´ ınimos cuadrados de los par´metros de los a modelos que siguen. Obtener la varianza y la covarianza de los estimadores. c. Y1 = θ + 1 Y2 = 2θ − φ + Y3 = θ + 2φ +

2 3

• Los estimadores por m´ ınimos cuadrados se presentan en la pagina 3; as´ solo queda hallar la varianza y la covarianza, para lo cual ı recordemos que la Cov(Yi , Yj ) = 0(resultado que se muestra en la pagina 9):
n i=1

ˆ V ar(θ) = = = =

V ar

Yi + Y2 6

1 V ar(Y1 + 2Y2 + Y3 ) 36 1 [V ar(Y1 ) + 4V ar(Y2 ) + V ar(Y3 )] 36 1 2 1 6σ = σ 2 36 6 2Y3 − Y2 5

ˆ V ar(φ)

= V ar = = =

1 V ar(2Y3 − Y2 ) 25 1 [4V ar(Y3 ) + V ar(Y2 )] 25 1 2 1 5σ = σ 2 25 5

4

ˆ ˆ Cov(θ, φ)

= = = = =

Cov

Y1 + 2Y2 + Y3 2Y3 − Y2 , 6 5

1 [Cov(Y1 , 2Y3 − Y2 ) +Cov(2Y2 + Y3 , 2Y3 − Y2 )] 30 1 [Cov(2Y2 , 2Y3 − Y2 ) + Cov(Y3 , 2Y3 − Y2 )] 30 1 [Cov(2Y2 , 2Y3 ) − 2V ar(Y2 ) + 2V ar(Y3 ) − Cov(Y3 , Y2 )] 30 1 2σ 2 − 2σ 2 = 0 30

e. Modelo de regresi´n lineal reparametrizado o ¯ Yi = α + β1 (Xi − X) + • Se tiene que
n n 2 i i=1 i

= α + β1 x i +

i

(i = 1, ..., n)

Z= y derivando se obtiene: ∂Z ∂α

=
i=1

(Yi − α − β1 xi )

2

n

= −2...