Regresión Lineal


República Bolivariana de Venezuela
Ministerio del Poder Popular para la Educación Superior Universitario
Universidad valle de Momboy
Facultad de Ingeniería
Ingeniería industrial











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Regresión lineal
Expresándolo en forma simple, la regresión lineal es una técnica que permite cuantificar la relación que puede ser observada cuando se grafica un diagrama de puntos dispersoscorrespondientes a dos variables, cuya tendencia general es rectilínea (Figura la); relación que cabe compendiar mediante una ecuación “del mejor ajuste” de la forma:
y = a + bx
(1)
En esta ecuación, “y” representa los valores de la coordenada a lo largo del eje vertical en el gráfico (ordenada); en tanto que “x” indica la magnitud de la coordenada sobre el eje horizontal (abscisa). El valor de“a” (que puede ser negativo, positivo o igual a cero) es llamado el intercepto; en tanto que el valor de “b” (el cual puede ser negativo o positivo) se denomina la pendiente o coeficiente de regresión.
Tabla 1

Serie de datos para el cálculo de una regresión (“a” y “b”) y del coeficiente de correlación (“r”)
Número
Valores de x
Valores de y
Número
Valores de x
Valores de y
1
9,0
0,50
 7
6,7
1,00
29,4
0,50
 8
8,4
0,50
3
7,4
1,23
 9
8,0
0,50
4
9,7
1,00
10
10,0
0,50
5
10,4
0,30
11
9,2
0,50
6
5,0
1,50
12
6,2
1,00
 
13
7,7
0,50
El procedimiento para obtener valores de “a” y “b” para una serie de pares de datos de “x” y de “y” (tal como la presentada en la Figura 1 y/o en la Tabla 1) es como sigue:
Paso 1
Calcule, para cada par de valores de “x” e “y”, las cantidades “x²”, “y²”, y “x.y”.
Paso 2Obtenga las sumas (∑) de estos valores para todos los pares de datos de “x” e “y”, así como las sumas del total de los valores de “x” e “y”. Los resultados de los Pasos 1 y 2 aparecerán en forma similar a la siguiente:





Número de pares de datos
x
x²
y
y²
x.y
1
…
…
…
…
…
2
…
…
…
…
…
3
…
…
…
…
…
·
 
 
 
 
 
·
 
 
 
 
 
·
 
 
 
 
 
n
…
…
…
…
…
Monto de las sumas
∑x
∑x²
∑y
∑y²
∑x·yPaso 3 Estime la pendiente (b) por medio de la relación:
 


Paso 4 Estime l intercepto (a) por medio de la relación:
 

A partir de esos valores de “a” y de “b” obtenidos mediante las Ecuaciones 2 y 3, es posible trazar a lo largo de los puntos dispersos de un gráfico la línea recta mejor ajustada a los mismos, y verificar visualmente si tales puntos están bien“expresados” por la línea (Figura 1b).
Correlación
El análisis de correlación se encuentra estrechamente vinculado con el análisis de regresión y ambos pueden ser considerados de hecho como dos aspectos de un mismo problema.
La correlación entre dos variables es - otra vez puesto en los términos más simples - el grado de asociación entre las mismas. Este es expresado por un único valor llamadocoeficiente de correlación (r), el cual puede tener valores que oscilan entre -1 y +1. Cuando “r” es negativo, ello significa que una variable (ya sea “x” o “y”) tiende a decrecer cuando la otra aumenta (se trata entonces de una “correlación negativa”, correspondiente a un valor negativo de “b” en el análisis de regresión). Cuando “r” es positivo, en cambio, esto significa que una variable se incrementa alhacerse mayor la otra (lo cual corresponde a un valor positivo de “b” en el análisis de regresión).
Los valores de “r” pueden calcularse fácilmente en base a una serie de pares de datos de “x” e “y”, utilizando la misma tabla y montos que se indican en el Paso 2 de la sección “regresión” de este capítulo. De este modo “r” puede ser obtenido - indirectamente - a partir de la relación:


Figura 1a Diagrama de puntos dispersos correspondientes a pares de valores de “x” y de “y”. Nótese que “y” tiende a decrecer con el aumento de “x”, lo cual sugiere coeficientes de regresión y de correlación negativos (basado en la Tabla 1)

Figura 1b  Los mismos datos que en 1a Fig. 1a, pero ajustados en base a la regresión y = 2,16 - 0,173x, con r = 0,75
La cual proporciona el valor del “coeficiente...