Relación

Tutorial Nivel Básico

MT - b15

Matemática 2007
Relaciones y funciones

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Marco teórico:
1. Producto cartesiano:
El producto cartesiano de dos conjuntos A x B se define como el conjunto de todos los pares ordenados que se pueden formar con un elemento perteneciente al conjunto A y un elemento del conjunto B. Los elementos de A x B son paresordenados. Cada par que se forma con un elemento del conjunto A y uno del conjunto B, (exactamente en ese orden) recibiendo el nombre de par ordenado. Los elementos del producto cartesiano se colocan entre paréntesis, separados por una coma. Ejemplo: A = {1,2,3} posee 3 elementos B = {x,y} posee 2 elementos A x B = {(1,x); (1,y); (2,x); (2,y); (3,x); (3,y)} posee 6 elementos (6 pares ordenados)

2.Relación:
Se define como relación entre los conjuntos A y B a un subconjunto del producto cartesiano A x B. Este producto cartesiano puede estar formado por un solo par ordenado, varios, todos o ninguno de los que forman parte de A x B, por lo tanto: Relación AxB

3. Función:
Sean A y B conjuntos no vacíos, f es una función de A en B , si y sólo si f es una relación de A en B de modo que a cadaelemento de A le corresponde uno y sólo un elemento de B. También podríamos decir que es una relación en la cual a cada preimagen le corresponde una y sólo una imagen. (Todas las funciones son relaciones, pero no todas las relaciones son funciones)

4. Elementos de una función
4.1 Dominio: Corresponde a los elementos del conjunto de partida, a cada uno de estos elementos se les conoce como laspreimágenes. 4.2 Codominio: Corresponde a los elementos del conjunto de llegada, a casa uno de estos elementos se les conoce como las imágenes.

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4.3 Rango o recorrido: Corresponde al subconjunto de imágenes que poseen preimagenes, o sea el recorrido es un subconjunto del Codominio Ejemplo:

1 2 3
Conjunto de partidaDominio: {1,2,3} Codominio: {x,y,z} Recorrido: {x,y}

x y z
Conjunto de llegada

5. Clasificación de funciones:
5.1 Función Epiyectiva (o Sobreyectiva) Sea f una función de A en B , f es una función epiyectiva , si y sólo si cada elemento de B es imagen de al menos un elemento de A. Ejemplo: A = {f,a,i,r,l} B = { 2 ,4 ,6 ,8 } f = { ( f ,2 ) ,( a ,8 ) ,( i ,4 ) ,( r ,6 ) ,( l ,8 ) } 5.2 FunciónInyectiva Sea f una función de A en B, f es una función inyectiva , si y sólo si cada elemento de B es imagen de a lo más un elemento de A. Ejemplo: A = {x,y,z} B = { 10 , 13 , 20 , 35 } f = { ( x , 35 ) , ( y , 10 ) , ( z , 20 ) }

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5.3 Función Biyectiva Sea f una función de A en B , f es una función biyectiva, si y sólo si f esepiyectiva e inyectiva a la vez . Ejemplo: A = {v,w,x,y} B = { 1 , 2 , 3 , 4} f = { ( v , 1 ) , ( w , 2 ) , ( x , 3 ) , ( y , 4 )} Observar que: Si f es una función biyectiva , entonces tiene función inversa f –1 ,la cual también es biyectiva.

6. Función inversa:
Dada una función f(x), su inversa es otra función, designada por f –1(x) de forma que se verifica: si f(a) = b, entonces f -1(b) = a Paraencontrar la función inversa de una función dada debemos: a) Despejar la variable independiente x. b) Intercambiar la x por la y, y la y por la x. La función así obtenida es la inversa de la función dada. Ejemplo: encontrar la función inversa de y = 7x –10 Primero, despejamos la variable independiente x de donde resulta x = Segundo, intercambiamos ambas variables, de donde resulta Luego, la funcióninversa de y = 7 x –10 es y = x + 10 7 y + 10 7 x + 10 y= 7

7. Valorización de funciones:

Consiste en reemplazar la x de la función (también conocida como variable independiente), por el valor en cuestión de la valorización. Ejemplos: Si f(x) = x – 10, entonces: f(4) = 4 – 10 = – 6 f(25) = 25 – 10 = 15

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III.
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