Relacion Problemas Resueltos: Integrales

Matemáticas para la Economía y la Empresa

GADE

RELACIÓN DE PROBLEMAS. LECCIÓN 3

PROBLEMA 1
Calcule las siguientes integrales:
a)

b)

∫

1

0

∫x

1 − x 2 dx

(x + 1)(x 2 + 2x + 5)6 dx
c)

d)

∫

1

0

∫e

e−2x +1dx
Log( x)

1
dx
x

Solución:
Resolver una integral indefinida, es encontrar una función, llamada primitiva F(x),
tal que F’(x) = f(x),función integrando.
a)
En este primer ejemplo, en el integrando aparece la función 1 − x 2 y x, por lo
que sólo falta una constante para tener la derivada del radicando, por tanto
multiplicando y dividiendo por (-2), tenemos:

3


23

−1
−1  (1 − x 2 ) 2 

2
2
 = − (1 - x ) + C = F(x)

x 1 − x dx =
−2x 1 − x dx =

∫

3


2∫
2
3







2
Vamosa comprobarlo:

−3
(1 - x 2 )(−2x)
F '(x) = 2
= x 1 − x2
3
Con Mathematica:
Es inmediato, podemos resolver la integral de dos formas, o bien mediante el
símbolo elegido en la paleta “Basic Math Assistant” o bien mediante la función
Integrate[ ]:

1

Matemáticas para la Economía y la Empresa

GADE

RELACIÓN DE PROBLEMAS. LECCIÓN 3

b)
Esta integral es definida, por tanto suvalor es numérico, y aplicamos para ello la
regla de Barrow F(b) – F(a).

∫

1

(x + 1)(x 2 + 2x + 5)6 dx =
0

11
1 (x 2 + 2x + 5)7
= ∫ 2(x + 1)(x 2 + 2x + 5)6 dx =
20
2
7

1

= F(1) − F(0) =
0

87 − 57
= 144216
14

Comprobamos la primitiva

F ' ( x) =

1  7( x 2 + 2 x + 5) 6 (2 x + 2) 

 = ( x 2 + 2 x + 5) 6 ( x + 1)


2
7


Con Mathematica:

2Matemáticas para la Economía y la Empresa

GADE

RELACIÓN DE PROBLEMAS. LECCIÓN 3

c)

∫

1
0

1

e

−2x +1

−1 1
−1 −2x +1
−e−1 + e0
e −1
dx =
−2e−2x +1dx =
(e ) = F(1) − F(0) = 2 = 2e
∫0
2
2
0

Con Mathematica:

d)

∫e

Log( x)

1
1
dx = ∫ x dx = ∫ 1dx = x + C = F(x)
x
x

Con Mathematica:

3

Matemáticas para la Economía y la Empresa

GADERELACIÓN DE PROBLEMAS. LECCIÓN 3

PROBLEMA 2
e x dx

∫

3

1 + ex

Solución:
Es una integral inmediata:

∫

e x dx
3

1 + ex

=

∫ e (1 + e )

1
− +1

(1 + e x ) 3
=
1
− +1
3

x

x

−

1
3

dx =

∫

f(x)m+1
f(x) f '(x)dx =
m +1
m

=

2
2
(1 + e x ) 3
3
x3
=
= (1 + e ) + K
2
2
3

PROBLEMA 3

∫e

x

sen(x) dx .

Solución:
Vamosa resolver esta integral por el método de integración por partes.
Recordemos que:

∫ f '(x)g(x)dx = f(x)g(x) − ∫ f(x)g'(x)dx
Con lo cual, en nuestro caso, si denotamos por:


f '(x) = e x
⇒ f(x) =
ex = ex



g(x) = sen(x) ⇒ g'(x) = cos(x)



∫

tenemos que:

∫ e sen(x)dx = e sen(x) − ∫ e cos(x)dx
x

x

x

4

Matemáticas para la Economía y la Empresa

GADERELACIÓN DE PROBLEMAS. LECCIÓN 3

y volvemos a aplicar el método de integración por partes para la nueva integral que
aparece.
Para ello denotaremos por:

f '(x) = e x

⇒ f(x) = e x


g(x) = cos(x) ⇒ g'(x) = −sen(x)



Entonces

∫ e cos(x)dx = e cos(x) − ∫ (−sen(x))e dx =
x

x

x

e x cos(x) +

∫ sen(x)e dx
x

Sustituyendo en la expresión de la integral quequeremos calcular, obtenemos:

∫ e sen(x)dx = e sen(x) − ∫ e cos(x)dx = e sen(x) − e cos(x) − ∫ sen(x)e dx
x

x

x

x

x

x

De la cual, despejando:

∫

e x sen(x)dx =

e x sen(x) − e x cos(x) e x
= (sen(x) − cos(x))
2
2

PROBLEMA 4

∫

sen x
x

dx

Solución:
Sabemos que una primitiva de f(u)= u’ sen(u) es F(u) = –cos(u). En este caso,
la función u es la raízcuadrada de x, cuya derivada es:

( x)' =

1
2x

por tanto, si multiplicamos y dividimos por 2 nuestra integral, podemos aplicar la
fórmula de la primitiva anterior y así:

∫

sen x
x

dx = 2 ∫

1
2x

sen x = −2 cos x + C

5

Matemáticas para la Economía y la Empresa

GADE

RELACIÓN DE PROBLEMAS. LECCIÓN 3

PROBLEMA 5

∫

x Log(x)dx

Solución:
Al ser el...