Relaciones y funciones/ mate 2

PRODUCTO CARTESIANO

En teoría de conjuntos es un producto directo de conjuntos, el producto cartesiano de dos conjuntos X y Y, denotado por X × Y, es el conjunto de todos los pares ordenados en los que el primer componente pertenece a X y el segundo a Y:
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El producto cartesiano recibe su nombre de René Descartes, cuya formulación de la geometría analítica dio origen a este concepto.El cardenal - o sea el número de elementos - del producto cartesiano es el producto de los cardenales de los conjuntos: |A × B| = |A|·|B|.
Por inducción inmediata, el producto se generaliza a un número cualquiera de conjuntos: Se define A × B × C por (A × B) ×C, o por A × (B × C), que es lo mismo pues el producto cartesiano es naturalmente asociativo, y más generalmente:A1 × A × ...An = { (a1, a2, ..., an) , a1 ε A1, ... an ε An }

Se admite la notación potencial: An = A × A × ... × A, con n factores.
Se puede aún más generalizar el producto cartesiano a un número infinito de conjuntos: Π Ai es el conjunto de las suceciones (ai) , con ai ε Ai, para todo i entero natural.

El interés teórico del producto cartesiano es enorme: con él seconstruye conjuntos cada vez más elaborados a partir de conjuntos sencillos. Otra operación muy productiva, que se parece a una división de conjuntos, es elcociente de un grupo por un subgrupo, o de un espacio vectorial por un subespacio, o un álgebra por una subálgebra ...

La representación en Coordenadas cartesianas de dos y tres dimensiones es una forma usual de representar el productocartesiano de dos y tres conjuntos.

El cuadrado cartesiano de un conjunto X se define como X2 = X × X. Un ejemplo de esto es el espacio euclídeo de dos dimensiones R2 = R × R, donde R es el conjunto de los números reales; R2 es entonces el conjunto de todos los puntos (x, y) donde x e y son ambos reales.
La representación geométrica deR x R es el plano cartesiano llamado también plano numérico.[pic]
También es de notar el caso en el que todos los conjuntos "factores" Xi son iguales. En este caso, la gran unión en la definición es sólo el único factor, y la segunda condición siempre se cumple; por lo tanto, el producto es solamente el conjunto de todas las funciones con dominio I y rango X, denotado XI por analogía con los "exponentes cartesianos".
En otros casos, el producto cartesianoinfinito es menos intuitivo, aunque muy valioso por sus aplicaciones en la matemática.La afirmación de que el producto cartesiano de una colección arbitraria de conjuntos no vacíos tampoco es vacío es equivalente al axioma de elección.

PAR ORDENADO

Un par ordenado es una tupla de dos elementos, tal que uno puede ser distinguido como el primero y el otro como el segundo. Un par ordenado conprimer elemento a y con segundo elemento b es escrito usualmente como (a, b). Dos pares ordenados cumplen:
(a, b) = (c, d) si y sólo si a = c y b = d

El conjunto de todos los pares ordenados en los cuales el primer elemento se toma de un conjunto X determinado y el segundo de un conjunto Y se llama producto cartesiano de X e Y, escrito [pic].
Pueden ser usados para mostrar la posición en ungráfico, donde el valor "x" (horizontal) es primero, y el valor "y" (vertical) es el segundo.
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Tuplas ordenadas: Los tríos ordenados y las tuplas ordenadas se pueden definir recursivamente a partir de la definición de par ordenado: un trío ordenado (a,b,c) puede ser definido como (a,(b,c)) ó como ((a,b),c); o sea, un par ordenado que contiene otro par ordenado como elemento.

Paresordenados en la teoría de conjuntos:En la teoría de conjuntos pura, donde solamente existen conjuntos, pares ordenados (a, b) se pueden definir como el conjunto:

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Esta definición tiene el nombre de par de Kuratowski, y es bien básica, porque requiere de apenas pocos axiomas para poder ser formulada (el axioma de extensión, el axioma de separación y el axioma del par).
La afirmación de...