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Apuntes de Sistemas de Telecomunicaciones

9 TEORÍA DE TRÁFICO
La teoría de tráfico es una herramienta ampliamente utilizada para el análisis del
comportamiento de las redes de comunicaciones, las cuales pueden ser de conmutación de
circuitos, como las redes telefónicas, o de conmutación de paquetes como las redes de datos
IP. En este capítulo el enfoque irá orientado principalmente a lasprimeras, ya que son la
base en donde se sustenta el sistema telefónico fijo.
La conmutación de circuitos consiste el establecimiento de un canal dedicado físico
(real), de extremo a extremo, entre los cuales existen elementos de conmutación, que en el
caso de la red telefónica se trata de centrales públicas (CO – Central Office) o PBX (Private
Branch eXchange), para el caso de empresas. Losenlaces pueden consistir en ranuras de
tiempo en un sistema de multiplexación temporal (TDM) o bandas de frecuencia para el
caso de multiplexación en frecuencia (FDM).
Como se verá más adelante con mayor detalle, las redes telefónicas pueden operar
en base a bloqueo de llamadas o a la utilización de colas de espera, siendo la más utilizada
la primera en las redes públicas debido a su equidad yeficacia. El modelamiento para este
tipo de comportamiento se realiza con teorías de cola, utilizando distintas notaciones
dependiendo de los supuestos y modelos a aplicar para cada proceso. La notación de
Kendall para un sistema general de formación de colas es de la forma:
A / B / C:
A representa la distribución de llegada de requerimientos en un conmutador
B repesenta la distribución deservicio en un elemento conmutador
C es el número de troncales de salida para el caso de una central telefónica
A continuación se hará una breve descripción de los procesos de Poisson para luego
deducir formulas que servirán para medir el grado de servicio de los sistemas antes
descritos.

9.1 Procesos de Poisson
Se utilizan tres enunciados para básicos para definir los procesos de Poisson.Sea ∆t un
intervalo de tiempo pequeño (∆t → 0) , entonces se tiene:
1. La probabilidad de una llegada en el intervalo ∆t se define como λ∆t + O(∆t), λ∆t 0.
Si Nk es el número de llamadas (canales ocupados) en el instante kδ, entonces Nk puede ser
representado como
N k = N (kδ )

(9 . 9 )

La probabilidad de transición está dada por

{

}

Pi , j = Pr N k +1 = j | N k = i

(9.10)Usando el enunciado básico número 2 de procesos de Poisson y permitiendo que
δ→0, se tiene
P00 = 1 − λδ + O(δ )
(9.11)
Pii = 1 − λδ − µδ + O(δ )

i ≥1

Pi ,i +1 = λδ + O (δ ) i ≥ 0

Pi ,i −1 = i ⋅ µ ⋅ δ + O (δ ) i ≥ 0
Pi , j = O (δ ) j ≠ i, j ≠ i + 1, j ≠ i − 1

(9.12)
(9.13)

(9.14)
(9.15)

Estas relaciones quedan mejor graficadas en la figura 9.2.

Figura 9.2:Probabilidades de transición representada como una cadena de Markov

Para entender la cadena supongase que al comienzo se tienen 0 canales ocupados, es
decir no hay usuarios. Sobre un pequeño intervalo de tiempo, la probabilidad que el sistema
continué sin usuarios es (1 - λδ). La probabilidad de que haya un cambio desde 0 a 1
usuario esta dada por λδ. En el otro extremo, si un canal esta en uso, laprobabilidad de que
el sistema pase a 0 canales ocupados esta dada por µδ. Similarmente, la probabilidad que el

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Apuntes de Sistemas de Telecomunicaciones
sistema continué con un canal en uso esta dada por 1 − λδ − µδ. Todas las probabilidades
de salida para un cierto estado suman 1.
Sobre un gran período de tiempo, el sistema alcanza el estado de régimen
permanente y tiene n canales enuso. Entonces bajo régimen permanente se cumple

λδPn −1 = nµδPn n ≤ C

(9.16)

La ecuación (9.16) es conocida como la ecuación general de balance. Además
C

∑P

n

n =0

Ocupando (9.16) se obtiene
P1 =

=1

(9.17 )

λP0
µ

(9.18)

Evaluando (9.16) para diferentes valores se obtiene
n

⎛λ⎞ 1
Pn = P0 ⎜ ⎟
⎜ µ ⎟ n!
⎝ ⎠

(9.19)

C
⎛µ⎞
P0 = ⎜ ⎟ Pn n!= 1 − ∑ Pi...