Repaso Probabilidad

Investigación de Operaciones II
Repaso Probabilidad & Estadística

Agenda
• • • • • • • • • Valor Esperado de una Variable Aleatoria. Varianza de una Variable Aleatoria. Distribución Bernoulli. Distribución Geométrica. Distribución Geométrica. Distribución Binomial. Distribución Binomial Negativa. Proceso Poisson. P P i Distribución Exponencial Distribución NormalValor Esperado de una Variable  Aleatoria
Ejemplo 1: VA X definida por número de hijos en una familia americana ¿Cuál es el número de hijos esperado?
R( X )  0, 1, 2, 3
0 g x (.) 1 2 3 5 15 9 1 30 30 30 30

E(X )  0* 

5 15 9 1  1*  2*  3* 30 30 30 30

36  1 .2  30 E ( X )  1 .2 hijos

Valor Esperado de una Variable  Aleatoria
Ejemplo 2: VA X definida por el resultado que se obtiene al lanzar un Ejemplo 2: VA X definida por el resultado que se obtiene al lanzar un dado.  R(X) = {1,2,3, 4, 5, 6} R(X) = {1 2 3 4 5 6} E(X) = (1+2+3+4+5+6)/6 = 21/6 = 3.5   => E(X) = 3.5 

Definición
Caso discreto Sea X una V.A. discreta con rango R(X). El valor esperado de la V.A. X se define por:

E( X ) 

xi R ( x )

x g
i

X

( xi ).

Caso continuo Sea X una V.A. continua con rango R(X)Sea X una V A continua con rango R(X) El valor esperado de la V.A. X se define por:

E( X ) 

R( X )

x f

X

( x)dx

De las definiciones anteriores se infiere que  E(K) = K

Valor Esperado  Ejemplo Caso  Valor Esperado – Ejemplo Caso Continuo
Para la VA X con fdp

f X ( x) 

x , 0  x  2, 2
1,2 1

x 1 2 E(X)  x dx  x dx 2 20 0



2



2

0,8 0,6 0,4

1 x 2 3

3 2 0



8 4  6 3

0,2 0 0 0,5 1 1,5 2 2,5

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Definición
Sea X una V.A. discreta o continua. La varianza y la desviación estándar de la  V.A. X se definen por: 2 2 VAR X  E X  E X    x
 x  var X

De acuerdo con la definición, la varianza la podemos calcular a través de la  d l d f ó l l d l l é d l expresión: Var(X) =                                          Var(X) =  g ( x ) * ( x   )
2 i 1 X i i x n

para X V.A. discreta y para X V A discreta y para X V.A. continua. 

Var(X) =                                            f X ( x) * ( x   x ) dx
2 R( X )

La varianza de X también se puede expresar como:  Var(X) = E(X2) – [E(X)]2      

Distribución de Bernoulli Distribución de Bernoulli
Se dice que un EA es un experimento aleatoriode Bernoulli si su espacio muestral asociado consta únicamente de dos elementos, es decir, Ω = { E, F } • Xb es la VA asociada al EA de Bernoulli, y está definida por: Xb(E) = 1 y Xb(F) = 0 • Rango (Xb) = {0, 1} • P(Xb = 1) = p y P (Xb = 0) = 1 – p Por tanto, su FP es: gX(x) = px (1 – p)1‐x, para x = 0, 1. y que su media y su varianza están dadas respectivamente por: dadas, respectivamente, E(X) =p y Var(X) = p (1‐p)

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Distribución Geométrica Distribución Geométrica
Si se realizan sucesivamente experimentos independientes de Bernoulli de p parámetro p, a la VARIABLE ALEATORIA XG: “número de ensayos hasta obtener p y el primer ÉXITO” se le conoce como una VA con DISTRIBUCIÓN GEOMÉTRICA de parámetro p.

g X (n)  (1  p ) n 1 p
En una sesión anterior ya se demostró que: ‐ R(X) ={1 2 3 …,n, …, } {1, 2, 3, ‐ E(X) = 1/p ‐Var(X) = (1‐p)/p2

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Distribución Binomial Distribución Binomial
Ejemplo Introductorio La j L tarjeta d crédito VIVAGRATIS conoce que el 30% d sus clientes quedan con de édi l de li d sobrecupo en los cortes mensuales. Si se elige una muestra aleatoria (MA) de 10 clientes de dicha tarjeta: a. ¿Cuál es la probabilidad de que exactamente cuatro tengansobrecupo? b. ¿Cuántos clientes esperaría usted que tengan sobrecupo? c. ¿Cuál es la probabilidad de que ocho o más de ellos tengan sobrecupo? Sea p = 0.3 la probabilidad de ÉXITO, i.e., que el cliente quede con sobrecupo. X: la VA asociada al número de ÉXITOS en los n = 10 ensayos. R(X) = {0,1,2, …, n}
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Distribución Binomial
Nos preguntan P(X = 4); observemos que:
E F F E F ... 1...