Resistencia

CAPITULO VI: ESFUERZOS EN UNA MASA DE SUELO
6.1 ESFUERZO NORMAL Y CORTANTE EN UN PLANO
y xy D F x C N

n

n

F

x  E T y xy B


A E B

xy

xy

(a)

(b)

Figura 6.1 (a) Elemento de suelo bajo esfuerzos. (b) Diagrama de cuerpo libre EFB.

Cálculo de n y n Del equilibrio de fuerzas n = y + x y - x + cos 2 +  2 2
y _ x 2
xy

sen2

(6.1)

n =sen2 - 

xy

cos2

(6.2)

Cálculo de los esfuerzos principales 1 y 3 Hacemos n = 0, obtenemos tan 2 = 2xy (entrega dos respuestas, dos planos principales) y - x (6.3)

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Esfuerzo principal mayor: n = 1 = y + x + 2 (y - x) 2 [ ] + 2xy 2 (6.4)

Esfuerzo principal menor: n =3 = y + x 2 [ (y - x) 2 ] + 2xy 2 (6.5)

Uso del Círculo de Mohr

Convención de signos: El esfuerzo normal de compresión está dado como positivo. El esfuerzo cortante es considerado positivo si es antihorario.
Esfuerzo cortante,  x + y 2

r

R

(x,xy)

(n,n)

Q

0 S 3 2 1 N

Esfuerzo normal, 

(y,-xy)

M

Figura 6.2 Uso del círculo de Mohr.

El radio “r”del círculo de Mohr es igual a: (y - x) 2 [ ] + 2xy 2 Los esfuerzos normal n y cortante n en el plano EF pueden determinarse al girar un ángulo 2 en el círculo de Mohr.

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CALCULO A PARTIR DE LOS ESFUERZOS PRINCIPALES Como un caso especial, si los planos AB y AD son principales
1 Esfuerzocortante C F 3 3 Q

D

( , )
3 S 2 0 1 N Esfuerzo normal

E A

 B

1 (a) (b)

Figura 6.3 (a) Esfuerzos principales mayores y menores. (b) Circulo de Mohr para los esfuerzos principales

n =

1 + 3 1 -3 + cos 2 2 2 1 - 3 sen2 2

(6.6)

n =

(6.7)

6.2

ESFUERZOS DEBIDO A UNA CARGA PUNTUAL

Boussineq (1883) da esfuerzos en un punto; para medio homogéneo,elástico e isotrópico. 3x2z - ( 1 - 2) L5 x2 - y2 y2z + Lr2(L + z) L3r2 y2 - x2 x2z + 32 2 Lr (L + z) L r

P px = 2 py = y
p z =

{

[

]}

(6.8)

P 3y2z - ( 1 - 2) 2 L5

{

[

]}

(6.9)

3Pz3 2L5

=

3Pz3 2(r 2 + z2 )5 / 2

= Δσ´z

(6.10)

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P

x r y

x L y px Apy pz z

z

Figura 6.4 Esfuerzos en un medio elástico debido a una carga puntual.

Donde: r= L=

( x2 + y2 ) ( x2 + y2 +`z2) = ( r2 + z2 )

 = módulo de Poisson La relación para parámetros:
p z = P z
2

pz (ó Δσ´z)

puede re-escribirse en función de estos

{

3 1 P } = 2 I1 = Δσ´z 2 5/2 2 [(r / z ) + 1 ] Z

Δσ´z / ( P / z2 ) = I1 forma adimensional de presentación Δσ´zno incluye la presión de tapada Donde: I1 = 3 1 2 2 [(r/z) + 1 ]5/2

(6.11)

(6.12)

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σ´z (lb/ft ) 0 4 8 z(ft) 12 16 0 1 2 3 4

2

20 24

Figura 6.5 Gráfico típico de esfuerzos por carga puntual

6.3

ESFUERZO VERTICAL DEBIDO A UNA CARGA LINEAL.
q / unidad de longitud x

σ´z

zA x

z

Figura 6.6 Carga lineal sobre la superficie semi-infinita de una masa de suelo

 ´z 2  (q / z )  [( x / z ) 2  1]2

(Forma adimensional)

(6.13)

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0.7

0.6

0.5

 ´ z 0.4 q z 0.3
0.2

0.1

0 0 0.2 0.4 0.6 0.8 x 1 1.2 1.4 1.6

z

Figura 6.7 Variación de σ´z /(q/z) con x/z

6.4

ESFUERZOS VERTICALES DEBIDO A UNA FRANJA DE CARGAS (PESO FINITO Y UNA LONGITUD INFINITA)
q = carga / área unitaria B x r dr

x-r σ´  

A x

z

Figura 6.8 Esfuerzo vertical debido a una carga repartida flexible

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q z σ´z = {tan-1 x - (B/2) 

[

z z - (B ] -...